Transformation Isotherme d’un Gaz Idéal
Comprendre la Transformation Isotherme d’un Gaz Idéal
Dans un laboratoire de physique, un gaz idéal est confiné dans un cylindre équipé d’un piston mobile. Ce système est maintenu à une température constante de 300 K grâce à un bain thermostatique. Initialement, le gaz occupe un volume de 2.0 litres sous une pression de 1.0 atm. On détend lentement le gaz jusqu’à ce que son volume atteigne 4.0 litres.
Données:
- Température initiale et finale du gaz, \(T = 300\) K
- Volume initial du gaz, \(V_i = 2.0\) litres
- Volume final du gaz, \(V_f = 4.0\) litres
- Pression initiale du gaz, \(P_i = 1.0\) atm
- Constante des gaz parfaits, \(R = 0.0821\) L\(\cdot\)atm/K\(\cdot\)mol
Questions:
1. Calculez la pression finale du gaz après l’expansion isotherme.
2. Déterminez le travail effectué par le gaz durant cette transformation.
3. Calculez la variation d’énergie interne du gaz durant cette transformation.
4. Déduisez la quantité de chaleur échangée avec le milieu extérieur.
Correction : Transformation Isotherme d’un Gaz Idéal
1. Calcul de la pression finale \(P_f\)
Dans une transformation isotherme, le produit pression-volume (\(PV\)) reste constant pour un gaz idéal. Donc, \(P_iV_i = P_fV_f\) où \(P_i\) et \(V_i\) sont la pression et le volume initiaux, et \(P_f\) et \(V_f\) sont la pression et le volume finaux.
Formule:
\[ P_f = \frac{P_iV_i}{V_f} \]
Données:
- \(P_i = 1.0\) atm (pression initiale)
- \(V_i = 2.0\) L (volume initial)
- \(V_f = 4.0\) L (volume final)
Calcul:
\[ P_f = \frac{1.0 \text{ atm} \times 2.0 \text{ L}}{4.0 \text{ L}} \] \[ P_f = 0.5 \text{ atm} \]
La pression finale du gaz après l’expansion isotherme est de 0.5 atm.
2. Calcul du travail effectué \(W\)
Le travail effectué par un gaz durant une expansion isotherme est donné par l’intégrale de \(P \, dV\). Sous forme idéalisée, pour un gaz parfait, cette intégrale peut être exprimée en utilisant la loi des gaz parfaits et en intégrant sur le volume.
Formule:
\[ W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \]
Données:
- \(T = 300\) K (température constante)
- \(R = 0.0821\) L·atm/K·mol (constante des gaz parfaits)
- \(V_i = 2.0\) L
- \(V_f = 4.0\) L
Calcul de \(n\):
\[ n = \frac{P_iV_i}{RT} \] \[ n = \frac{1.0 \text{ atm} \times 2.0 \text{ L}}{0.0821 \text{ L·atm/K·mol} \times 300 \text{ K}} \] \[ n = 0.081 \text{ mol} \]
Calcul de \(W\):
\[ W = 0.081 \text{ mol} \times 0.0821 \text{ L·atm/K·mol} \times 300 \text{ K} \times \ln\left(\frac{4.0 \text{ L}}{2.0 \text{ L}}\right) \] \[ W \approx 3.6 \text{ L·atm} \times 101.3 \text{ J/L·atm} \] \[ W = 365 \text{ J} \]
Le travail effectué par le gaz lors de cette expansion isotherme est de 365 J.
3. Calcul de la variation d’énergie interne \(\Delta U\)
Pour un gaz parfait en transformation isotherme, la température reste constante et donc, selon la théorie cinétique des gaz, l’énergie interne, qui est une fonction de la température uniquement, reste inchangée.
Formule:
\[ \Delta U = 0 \quad (\text{car } \Delta T = 0) \]
La variation d’énergie interne du gaz durant cette transformation isotherme est de 0 J.
4. Calcul de la quantité de chaleur échangée \(Q\)
Selon le premier principe de la thermodynamique, la variation de l’énergie interne d’un système est égale à la somme de la chaleur échangée avec l’environnement et du travail effectué par le système.
Formule:
\[ \Delta U = Q – W \] \[ Q = \Delta U + W \]
Calcul:
\[ Q = 0 \text{ J} + 365 \text{ J} \] \[ Q = 365 \text{ J} \]
La quantité de chaleur échangée avec le milieu extérieur est de 365 J.
Transformation Isotherme d’un Gaz Idéal
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