Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité
Comprendre le Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité
Deux objets, A et B, sont situés dans l’espace lointain, loin de toute autre influence gravitationnelle significative. L’objet A a une masse de \(5 \times 10^4\) kg et l’objet B a une masse de \(3 \times 10^4\) kg. Les objets sont initialement à une distance de 20 mètres l’un de l’autre.
Données à utiliser :
- Masse de A, \(m_A = 5 \times 10^4\) kg
- Masse de B, \(m_B = 3 \times 10^4\) kg
- Distance initiale entre A et B, \(d = 20\) m
- Constante gravitationnelle, \(G = 6.674 \times 10^{-11}\) m\(^3\)kg\(^{-1}\)s\(^{-2}\)
Question :
Calculez la force gravitationnelle entre les deux objets et déterminez le temps nécessaire pour qu’ils se rencontrent sous l’effet de cette force, en supposant qu’ils partent du repos.
Correction : Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité
1. Calcul de la force gravitationnelle
La force gravitationnelle entre deux masses est décrite par la loi de la gravitation universelle de Newton, qui stipule que la force entre deux masses est directement proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
Formule :
\[ F = G \frac{m_A \times m_B}{d^2} \]
Données :
- Constante gravitationnelle, \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)
- Masse de A, \(m_A = 5 \times 10^4 \, \text{kg}\)
- Masse de B, \(m_B = 3 \times 10^4 \, \text{kg}\)
- Distance entre A et B, \(d = 20 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ F = 6.674 \times 10^{-11} \frac{(5 \times 10^4) \times (3 \times 10^4)}{(20)^2} \] \[ F = 6.674 \times 10^{-11} \times 3.75 \times 10^6 \] \[ F = 2.50275 \times 10^{-4} \, \text{Newtons} \]
2. Calcul des accélérations
La deuxième loi de Newton \( F = ma \) permet de déterminer l’accélération subie par chaque masse sous l’effet de la force gravitationnelle.
Formule pour A :
\[ a_A = \frac{F}{m_A} \]
Formule pour B :
\[ a_B = \frac{F}{m_B} \]
Données :
- Force \(F = 2.50275 \times 10^{-4} \, \text{Newtons}\)
Calcul pour A :
\[ a_A = \frac{2.50275 \times 10^{-4}}{5 \times 10^4} \] \[ a_A = 5.0055 \times 10^{-9} \, \text{m/s}^2 \]
Calcul pour B :
\[ a_B = \frac{2.50275 \times 10^{-4}}{3 \times 10^4} \] \[ a_B = 8.3425 \times 10^{-9} \, \text{m/s}^2 \]
3. Calcul du temps de rencontre
En supposant que les masses se déplacent uniquement sous l’effet de la force gravitationnelle et partent du repos, on peut utiliser la formule du mouvement rectiligne uniformément accéléré pour déterminer le temps nécessaire pour que les deux masses se rencontrent.
Formule :
\[ d = \frac{1}{2} a_{rel} t^2 \]
Données :
- Distance initiale \(d = 20 \, \text{m}\)
- Accélération relative \(a_{rel} = a_A + a_B\)
Calcul :
\[ a_{rel} = 5.0055 \times 10^{-9} + 8.3425 \times 10^{-9} \] \[ a_{rel} = 1.3348 \times 10^{-8} \, \text{m/s}^2 \]
\[ 20 = \frac{1}{2} (1.3348 \times 10^{-8}) t^2 \] \[ t^2 = \frac{40}{1.3348 \times 10^{-8}} \] \[ t = \sqrt{\frac{40}{1.3348 \times 10^{-8}}} \] \[ t \approx 173415 \, \text{secondes} \] \[ t \approx 48.171 \, \text{heures} \]
Temps et Trajectoire sous l’Effet de la Gravité
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