Projection d’État Quantique et Mesure
Comprendre la Projection d’État Quantique et Mesure
Considérons un système quantique dans l’état initial décrit par le vecteur d’état \( \psi \) dans un espace de Hilbert à deux dimensions. L’état est donné par la superposition suivante:}
\[ \psi = \frac{1}{\sqrt{3}} |0\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} |1\rangle \]
Les états \( |0\rangle \) et \( |1\rangle \) sont les états propres d’un opérateur observable \( \hat{Z} \) avec des valeurs propres respectives 0 et 1. Ces états forment une base orthonormée pour l’espace de Hilbert considéré.}
Question:
Un appareil de mesure conçu pour mesurer l’observable \( \hat{Z} \) est utilisé pour mesurer l’état du système.
Calculez :
1. Probabilités de Mesure : La probabilité que la mesure donne comme résultat \( |0\rangle \) et \( |1\rangle \).
2. États Post-Mesure : Les états du système immédiatement après la mesure pour chaque résultat possible.
3. Valeur Moyenne de l’Observable : La valeur moyenne de \( \hat{Z} \) pour l’état \( \psi \).
Correction : Projection d’État Quantique et Mesure
1. Calcul des Probabilités de Mesure
La probabilité de mesurer un certain état quantique est le carré de l’amplitude de projection de l’état initial sur cet état propre. L’état initial est une superposition des états \(|0\rangle\) et \(|1\rangle\).
Formule :
\[ P(k) = |\langle k | \psi \rangle|^2 \]
où \(k\) peut être \(0\) ou \(1\).
Données :
\[ \psi = \frac{1}{\sqrt{3}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|1\rangle \]
Calcul pour \(P(0)\) :
\[ P(0) = \left|\left\langle 0 \middle| \left(\frac{1}{\sqrt{3}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|1\rangle\right) \right\rangle\right|^2 \] \[ P(0) = \left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|^2 \] \[ P(0) = \frac{1}{3} \]
Calcul pour \(P(1)\) :
\[ P(1) = \left|\left\langle 1 \middle| \left(\frac{1}{\sqrt{3}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|1\rangle\right) \right\rangle\right|^2 \] \[ P(1) = \left|\sqrt{\frac{2}{3}}\right|^2 \] \[ P(1) = \frac{2}{3} \]
2. États Post-Mesure
Selon les principes de la mécanique quantique, après une mesure, le système s’effondre dans l’état propre correspondant à la valeur mesurée.
L’état du système après la mesure de \(k\) est \(|k\rangle\).
Données : Résultats possibles \(|0\rangle\) ou \(|1\rangle\).
- État si mesure \(|0\rangle\) : Le système devient \(|0\rangle\)
- État si mesure \(|1\rangle\) : Le système devient \(|1\rangle\)
3. Valeur Moyenne de l’Observable \(\hat{Z}\)
La valeur moyenne d’une observable quantique dans un état donné représente la valeur attendue de mesures répétées de cette observable sur un grand nombre de systèmes préparés de la même manière.
Formule :
\[ \langle \hat{Z} \rangle = \langle \psi | \hat{Z} | \psi \rangle \]
Calcul :
Utilisant les probabilités calculées et les valeurs propres associées à chaque état :
\[ \langle \hat{Z} \rangle = 0 \cdot P(0) + 1 \cdot P(1) \] \[ \langle \hat{Z} \rangle = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} \] \[ \langle \hat{Z} \rangle = \frac{2}{3} \]
Projection d’État Quantique et Mesure
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