Mouvement d’une caisse sur un plan incliné
Comprendre le Mouvement d’une caisse sur un plan incliné
Dans un entrepôt, une caisse de masse \(m = 10 \, \text{kg}\) glisse depuis le haut d’un plan incliné faisant un angle \(\alpha = 15^\circ\) avec l’horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre la caisse et le plan est \(\mu_c = 0.2\). La longueur du plan est \(L = 2 \, \text{m}\).
Données :
- Masse de la caisse : \(m = 10 \, \text{kg}\).
- Angle du plan : \(\alpha = 15^\circ\).
- Coefficient de frottement : \(\mu_c = 0.2\).
- Longueur du plan : \(L = 2 \, \text{m}\).
- Gravité : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\).
Questions :
1. Déterminer l’accélération de la caisse le long du plan incliné.
2. Calculer le temps mis par la caisse pour atteindre la base du plan.
3. Quelle est la vitesse de la caisse en bas du plan ?
Correction : Mouvement d’une caisse sur un plan incliné
1. Calcul de l’accélération de la caisse
Sur un plan incliné, deux forces principales agissent sur la caisse :
- La composante du poids parallèle au plan :
\[ F_{\text{poids},\parallel} = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \]
- La force de frottement cinétique opposée au mouvement :
\[ F_{\text{frott}} = \mu_c \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \]
La force résultante est donc :
L’accélération \(a\) se déduit avec \(F = m \cdot a\) :
\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = g \cdot (\sin(\alpha) – \mu_c \cdot \cos(\alpha)) \]
Formule :
\[ a = g \cdot (\sin \alpha – \mu_c \cos \alpha) \]
Données substituées :
- \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
- \(\sin(15^\circ) \approx 0,2588\)
- \(\cos(15^\circ) \approx 0,9659\)
- \(\mu_c = 0,2\)
Calcul :
\[ a = 9,81 \cdot (0,2588 – 0,2 \cdot 0,9659) \] \[ a = 9,81 \cdot (0,2588 – 0,1932) \] \[ a = 9,81 \cdot 0,0656 \] \[ a \approx 0,643 \, \text{m/s}^2 \]
Conclusion : L’accélération est positive (la caisse descend), mais réduite par le frottement. Si \(\mu_c\) avait été plus grand, \(a\) aurait pu être négative (blocage).
2. Calcul du temps pour atteindre la base du plan
La caisse part du repos (\(v_0 = 0\)) et accélère uniformément. La distance parcourue \(L\) est liée au temps \(t\) par :
\[ L = \frac{1}{2} a t^2 \] \[ \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2L}{a}}. \]
Données substituées :
- \(L = 2 \, \text{m}\)
- \(a = 0,643 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ t = \frac{2 \cdot 2}{0,643} \] \[ t = \frac{4}{0,643} \] \[ t \approx 6,22 \] \[ t \approx 2,50 \, \text{s}. \]
Vérification :
Avec \(a \approx 0,6 \, \text{m/s}^2\), en 2,5 s, la vitesse atteint \(v = a \cdot t \approx 1,5 \, \text{m/s}\), ce qui est cohérent avec un mouvement lent (frottement présent).
3. Calcul de la vitesse en bas du plan
La vitesse finale \(v\) d’un objet en accélération constante (sans vitesse initiale) est donnée par :
\[ v = a \cdot t \] ou \(v = \sqrt{2aL}\) \((\text{car } v^2 = 2aL)\)
Données substituées :
- \(a = 0,643 \, \text{m/s}^2\)
- \(t = 2,50 \, \text{s}.\)
Calcul :
\[ v = 0,643 \cdot 2,50 \] \[ v \approx 1,61 \, \text{m/s}. \]
Alternative :
Avec \(v = \sqrt{2 \cdot 0,643 \cdot 2} = \sqrt{2,572} \approx 1,60 \, \text{m/s}.\)
Les deux méthodes concordent !
Mouvement d’une caisse sur un plan incliné
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