Mouvement d’un Pendule
Comprendre le Mouvement d’un Pendule
Un pendule simple de longueur L et de masse m est dévié d’un angle initial θ_0 par rapport à la verticale et est relâché sans vitesse initiale. On néglige les frottements.
Données :
- Longueur du pendule : L = 2 m
- Masse du pendule : m = 1 kg
- Angle initial : \(\theta_0 = 0.1 \, \text{rad}\)
- Accélération due à la gravité : \(g = 9,81\, \text{m/s}^2\)
Questions :
1. Déterminez l’équation du mouvement du pendule.
2. Calculez la période d’oscillation du pendule.
3. Trouvez la vitesse maximale du pendule au point le plus bas de son mouvement.
Correction : Mouvement d’un Pendule
1. Équation du mouvement du pendule
Pour un pendule simple soumis à la petite oscillation (ici, \(\theta_0 = 0.1 \, \text{rad}\) est suffisamment petit pour utiliser l’approximation \(\sin \theta \approx \theta\)), l’équation du mouvement s’obtient à partir de la deuxième loi de Newton appliquée à la rotation. On obtient alors une équation différentielle linéaire harmonique.
Formule
L’équation différentielle pour le pendule en petite oscillation est :
\[ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0 \]
La solution générale de cette équation est :
\[ \theta(t) = \theta_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}}\,t + \phi\right) \]
Comme le pendule est relâché sans vitesse initiale, la condition initiale est \(\dot{\theta}(0) = 0\). On peut choisir \(\phi = 0\) pour satisfaire cette condition.
Données
- \(L = 2 \, \text{m}\)
- \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
- \(\theta_0 = 0.1 \, \text{rad}\)
Calcul
Le terme caractéristique de l’oscillation est :
\[ \omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \] \[ \omega = \sqrt{\frac{9,81}{2}} \] \[ \omega \approx \sqrt{4,905} \] \[ \omega \approx 2,215 \, \text{rad/s} \]
Ainsi, l’équation du mouvement devient :
\[ \theta(t) = 0.1 \cos(2,215\, t) \]
2. Période d’oscillation du pendule
Pour un oscillateur harmonique, la période \(T\) est liée à la pulsation \(\omega\) par :
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]
Formule
Utilisant la relation \(\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\), on trouve :
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]
Données
- \(L = 2 \, \text{m}\)
- \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{2}{9,81}} \] \[ T \approx 2\pi\sqrt{0,20387} \] \[ T \approx 2\pi(0,4515) \] \[ T \approx 2,84 \, \text{s} \]
3. Vitesse maximale au point le plus bas
La vitesse maximale se trouve au point le plus bas du pendule, où l’énergie potentielle initiale est entièrement convertie en énergie cinétique (en négligeant les frottements). Par conservation de l’énergie :
\[ \Delta E_p = E_k \]
L’énergie potentielle perdue (pour un déplacement angulaire \(\theta_0\)) est :
\[ \Delta E_p = m g h \quad \text{où} \quad h = L(1-\cos\theta_0) \]
L’énergie cinétique au point le plus bas est :
\[ E_k = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 \]
Formule
En égalant les deux énergies :
\[ m g L (1-\cos\theta_0) = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 \]
On simplifie (les masses se simplifient) et on résout pour \(v_{\text{max}}\) :
\[ v_{\text{max}} = \sqrt{2 g L (1-\cos\theta_0)} \]
Données
- \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
- \(L = 2 \, \text{m}\)
- \(\theta_0 = 0.1 \, \text{rad}\)
(Pour \(\theta_0\) petit, on peut utiliser directement \(\cos 0.1\). Calculons : \(\cos(0.1) \approx 0,995\).)
Calcul
\[ = 1 – \cos(0.1) \] \[ \approx 1 – 0,995 \] \[ = 0,005 \]
Donc :
\[ v_{\text{max}} = \sqrt{2 \times 9,81 \times 2 \times 0,005} \] \[ v_{\text{max}} = \sqrt{0,1962} \] \[ v_{\text{max}} \approx 0,443 \, \text{m/s} \]
Mouvement d’un Pendule
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