Étude Dynamique d’une Comète
Comprendre l’Étude Dynamique d’une Comète
Les comètes sont des objets célestes constitués de glace, de poussière et de composés organiques, qui peuvent nous donner des indices précieux sur la composition du système solaire primitif.
Lorsqu’une comète s’approche du Soleil, elle chauffe et dégage des gaz et de la poussière, créant une atmosphère brillante appelée coma, ainsi qu’une queue qui s’étend loin derrière elle.
Données :
Considérons une comète qui s’approche du Soleil avec une trajectoire hyperbolique. Les paramètres de sa trajectoire sont les suivants :
- Périhélie (q) : 0.5 unités astronomiques (AU) (la distance la plus proche du Soleil)
- Excentricité (e) : 1.2
Avec \(A\) l’albédo (\(0.04\) pour la comète), \(\epsilon\) l’émissivité (\(0.9\)), et \(\sigma\) la constante de Stefan-Boltzmann (\(5.67 \times 10^{-8} \, \text{W/m}^2\text{K}^4\)).
Questions :
1. Calculer la vitesse de la comète au périhélie.
2. Estimer la température de la comète au périhélie en supposant que le seul mécanisme de chauffage est l’insolation solaire.
Correction : Étude Dynamique d’une Comète
1. Calcul de la vitesse de la comète au périhélie
Calcul du demi-grand axe \(a\):
Le demi-grand axe d’une trajectoire hyperbolique est essentiel pour comprendre la géométrie de l’orbite de la comète.
Dans une orbite hyperbolique, \(a\) est négatif, et nous pouvons le calculer à partir du périhélie \(q\) et de l’excentricité \(e\).
Formule :
\[ a = \frac{-q}{e-1} \]
Données :
- Périhélie \( q = 0.5 \) AU
- Excentricité \( e = 1.2 \)
Calcul :
\[ a = \frac{-0.5}{1.2-1} \] \[ a = \frac{-0.5}{0.2} \] \[ a = -2.5 \, \text{AU} \]
Calcul de la vitesse au périhélie (\(v\)):
La vitesse de la comète au périhélie est la plus élevée durant son orbite. Elle peut être calculée en utilisant la loi de conservation de l’énergie pour une orbite hyperbolique, où l’énergie totale est une fonction de la distance au Soleil et du demi-grand axe.
Formule :
\[ v = \sqrt{GM_{\odot} \left(\frac{2}{r} – \frac{1}{a}\right)} \]
Données :
- \( GM_{\odot} = 1.327 \times 10^{20} \, \text{m}^3/\text{s}^2 \) (paramètre gravitationnel standard du Soleil)
- \( r = q = 0.5 \) AU \( = 0.5 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{m} = 7.48 \times 10^{10} \, \text{m} \)
- \( a = -2.5 \) AU \( = -2.5 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{m} = -3.74 \times 10^{11} \, \text{m} \)
Calcul :
\[ v = \sqrt{1.327 \times 10^{20} \left(\frac{2}{7.48 \times 10^{10}} – \frac{1}{-3.74 \times 10^{11}}\right)} \] \[ v \approx 6.9 \times 10^{4} \, \text{m/s} \]
2. Estimation de la température au périhélie (\(T\))
La température de la comète au périhélie est influencée par le rayonnement solaire qu’elle reçoit à cette distance.
En utilisant la loi du corps noir et l’approximation de l’albédo, nous pouvons estimer cette température.
Formule :
\[ T = \left(\frac{S_0 (1 – A)}{4 \sigma \epsilon}\right)^{1/4} \times \left(\frac{1 \, \text{AU}}{r}\right)^{1/2} \]
Données :
- \( S_0 = 1361 \, \text{W/m}^2 \) (constante solaire)
- \( A = 0.04 \) (albédo)
- \( \sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W/m}^2\text{K}^4 \) (constante de Stefan-Boltzmann)
- \( \epsilon = 0.9 \) (émissivité)
- \( r = 0.5 \, \text{AU} \)
Calcul :
\[ T = \left(\frac{1361 \times (1 – 0.04)}{4 \times 5.67 \times 10^{-8} \times 0.9}\right)^{1/4} \times \left(\frac{1 \, \text{AU}}{0.5}\right)^{1/2} \] \[ T \approx 403.5 \, K \]
Résultats finaux:
- La vitesse de la comète au périhélie est d’environ \(69,000 \, \text{m/s}\).
- La température de la comète au périhélie est d’environ \(403.5 \, K\).
Étude Dynamique d’une Comète
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