Étude d’une Fonction d’Onde Gaussienne

On considère une particule non-relativiste libre (c'est-à-dire évoluant dans un espace sans potentiel externe, \( V(x)=0 \) dont la fonction d’onde initiale (à \( t=0 \) est donnée par une distribution gaussienne :

\[ \psi(x,0)=A\, \exp\Bigl(-\alpha\, x^2\Bigr) \]

avec :

- \( \alpha>0 \) est une constante caractérisant l’étalement du paquet d’onde (les unités de \( \alpha \) doivent être \( m^{-2} \) pour que le produit \( \alpha x^2 \) soit sans dimension).

- \( A \) est la constante de normalisation à déterminer afin que la probabilité totale soit égale à 1.

Données numériques pour cet exercice :

- On prendra \( \alpha=1\times10^{10}\ m^{-2} \).

Note : La constante \( \hbar \) n’intervient pas ici directement puisque nous ne considérons pas l’évolution temporelle, mais seulement la normalisation et le calcul d’espérance de la position.

Questions

1. Normalisation de la fonction d’onde

Déterminer la valeur de 𝐴 pour que la fonction d’onde soit normalisée, c'est-à-dire que :

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,0)|^2\,dx = 1. \]

2. Calcul de l'espérance de la position

Calculer la valeur de l'espérance (ou valeur moyenne) de la position ⟨𝑥⟩ à 𝑡 = 0 :

\[ \langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x\, |\psi(x,0)|^2\,dx. \]

1. Calcul de la normalisation de la fonction d’onde

La fonction d’onde est donnée par \[ \psi(x,0)=A\, \exp\Bigl(-\alpha\, x^2\Bigr). \] La condition de normalisation impose que la probabilité totale soit égale à 1 : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,0)|^2\,dx = 1. \] Ici, \[ |\psi(x,0)|^2 = A^2\, \exp\Bigl(-2\alpha\, x^2\Bigr). \] Il faut donc trouver \( A \) tel que \[ A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-2\alpha\, x^2) \,dx = 1. \]

Formule utilisée

On utilise la formule classique de l’intégrale gaussienne : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\beta\, x^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{\beta}}, \] où, dans notre cas, \( \beta = 2\alpha \).

Données

• \( \alpha = 10^{10}\ \mathrm{m}^{-2} \)

d. Calcul étape par étape

1. Calcul de l’intégrale :
Remplaçant \( \beta \) par \(2\alpha\), on a \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-2\alpha\, x^2) dx = \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}}. \]

2. Écriture de la condition de normalisation :
\[ A^2 \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} = 1. \]

3. Résolution pour \( A^2 \) :
\[ A^2 = \sqrt{\frac{2\alpha}{\pi}}. \]

4. Calcul de \( A \) en substituant la valeur numérique :
\[ A = \left(\sqrt{\frac{2\times 10^{10}}{\pi}}\right)^{1/2} = \left(\frac{2\times 10^{10}}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}}. \] Pour avoir une idée numérique, procédons étape par étape :
- Calculer l’argument : \(\displaystyle \frac{2\times 10^{10}}{\pi} \approx \frac{2\times 10^{10}}{3.1416} \approx 6.366 \times 10^9.\)
- Calculer la racine quatrième : \(\displaystyle A \approx \bigl(6.366 \times 10^9\bigr)^{1/4}.\)
Pour évaluer cette quantité, on peut remarquer que \[ (10^{10})^{1/4} = 10^{2.5} \approx 316.23 \] et intégrer le facteur \(6.366\) : \[ A \approx 6.366^{1/4} \times 10^{2.5}. \] Or, \(6.366^{1/4}\) correspond à la racine quatrième de 6.366, soit approximativement 1.60.
Finalement : \[ A \approx 1.60 \times 316.23 \approx 506. \]

Conclusion pour la normalisation :
La constante \( A \) est donnée par \[ A = \left(\frac{2\times 10^{10}}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} \] \[ A \approx 506\quad (\mathrm{m}^{-1/2}). \]

2. Calcul de l’espérance de la position \( \langle x \rangle \)

L’espérance de la position est calculée à l’aide de la formule : \[ \langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x\, |\psi(x,0)|^2\,dx. \] Ici, avec \[ |\psi(x,0)|^2 = A^2 \exp(-2\alpha\, x^2), \] la formule devient : \[ \langle x \rangle = A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} x\, \exp(-2\alpha\, x^2) dx. \]

Formule utilisée

On utilise la propriété d’intégrales de fonctions paires et impaires :
- La fonction \( \exp(-2\alpha\, x^2) \) est paire (symétrique par rapport à \( x=0 \)).
- La fonction \( x \) est impaire.
- Le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire est une fonction impaire.
Pour une fonction impaire \( f(x) \) intégrée sur un intervalle symétrique, l’intégrale est nulle : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 0. \]

Données

Aucune donnée supplémentaire n’est nécessaire puisque l’intégrale ressort directement de la parité.

Calcul étape par étape

1. Identifier la parité :
La fonction \( x\, \exp(-2\alpha\, x^2) \) est impaire.

2. Conclure le résultat de l’intégrale :
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} x\, \exp(-2\alpha\, x^2) dx = 0. \]

3. Application du résultat dans l’expression de l’espérance :
\[ \langle x \rangle = A^2 \times 0 = 0. \]

Conclusion pour l’espérance de la position :
Le résultat est \[ \langle x \rangle = 0. \]