Étude d’une Collision Élastique sur Glace
Comprendre l’Étude d’une Collision Élastique sur Glace
Deux patineurs sur glace, l’un de masse \(60 \, \text{kg}\) et l’autre de masse \(80 \, \text{kg}\), se poussent mutuellement et se déplacent dans des directions opposées.
Données :
- Masse du premier patineur, \(m_1 = 60 \, \text{kg}\)
- Masse du deuxième patineur, \(m_2 = 80 \, \text{kg}\)
- Vitesse initiale du premier patineur vers l’est, \(v_{1i} = 2 \, \text{m/s}\)
- Vitesse initiale du deuxième patineur, \(v_{2i} = 0 \, \text{m/s}\)
Questions :
1. Quelle est la vitesse finale des deux patineurs après la collision, en supposant une collision parfaitement élastique?
2. Quelle quantité de mouvement est conservée dans le système?
Correction : Étude d’une Collision Élastique sur Glace
1. Vitesse finale des deux patineurs après la collision
Calcul des vitesses finales :
Dans une collision élastique, deux quantités sont conservées : la quantité de mouvement et l’énergie cinétique.
Pour la quantité de mouvement, la formule est :
\[ m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} \]
Pour l’énergie cinétique, la formule est :
\[ \frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2 \]
Données :
- \(m_1 = 60\, \text{kg}\)
- \(m_2 = 80\, \text{kg}\)
- \(v_{1i} = 2\, \text{m/s}\)
- \(v_{2i} = 0\, \text{m/s}\)
Calcul :
- Conservation de la quantité de mouvement :
\[ 60 \times 2 + 80 \times 0 = 60 \times v_{1f} + 80 \times v_{2f} \] \[ 120 = 60v_{1f} + 80v_{2f} \quad \text{(1)} \]
- Conservation de l’énergie cinétique :
\[ \frac{1}{2} \times 60 \times 2^2 + \frac{1}{2} \times 80 \times 0^2 = \frac{1}{2} \times 60 \times v_{1f}^2 + \frac{1}{2} \times 80 \times v_{2f}^2 \] \[ 120 = 30v_{1f}^2 + 40v_{2f}^2 \quad \text{(2)} \]
Résolvons ces équations simultanément pour \(v_{1f}\) et \(v_{2f}\) :
À partir de l’équation (1):
\[ v_{1f} = \frac{120 – 80v_{2f}}{60} \quad \text{(3)} \]
Substituons dans l’équation (2) :
\[ 30 \left(\frac{120 – 80v_{2f}}{60}\right)^2 + 40v_{2f}^2 = 120 \] \[ 30 \left(2 – \frac{4}{3}v_{2f}\right)^2 + 40v_{2f}^2 = 120 \] \[ 30 \left(4 – \frac{16}{3}v_{2f} + \frac{16}{9}v_{2f}^2 \right) + 40v_{2f}^2 = 120 \] \[ \frac{160}{3}v_{2f}^2 + 40v_{2f}^2 – 160v_{2f} = 0 \]
Factorisons \(v_{2f}\) :
\[ v_{2f} \left(\frac{280}{3}v_{2f} – 160\right) = 0 \] \[ v_{2f} = 0 \quad \text{ou} \quad \frac{280}{3}v_{2f} = 160 \] \[ v_{2f} = \frac{480}{280} \approx 1.71 \, \text{m/s} \]
Utilisons l’équation (3) pour trouver \(v_{1f}\) :
\[ v_{1f} = 2 – \frac{4}{3} \times 1.71 \]
\[ v_{1f} \approx -0.28 \, \text{m/s} \]
Résultat :
- Vitesse finale du premier patineur, \(v_{1f} \approx -0.28 \, \text{m/s}\) (il se déplace maintenant vers l’ouest)
- Vitesse finale du deuxième patineur, \(v_{2f} \approx 1.71 \, \text{m/s}\) (il continue vers l’est)
2. Conservation de la quantité de mouvement
Calcul :
\[ p_{\text{initial}} = m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} \] \[ p_{\text{initial}} = 60 \cdot 2 + 80 \cdot 0 \] \[ p_{\text{initial}} = 120 \, \text{kg m/s} \]
\[ p_{\text{final}} = m_1 \cdot v_{1f} + m_2 \cdot v_{2f} \] \[ p_{\text{final}} = 60 \cdot (-0.28) + 80 \cdot 1.71 \] \[ p_{\text{final}} \approx 120 \, \text{kg m/s} \]
Résultat :
La quantité de mouvement est conservée, avec \(p_{\text{initial}} = p_{\text{final}} = 120 \, \text{kg m/s}\).
Étude d’une Collision Élastique sur Glace
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