Étude du paradoxe des jumeaux
Comprendre l’Étude du paradoxe des jumeaux
Le paradoxe des jumeaux est une expérience de pensée en relativité restreinte qui illustre comment le temps peut s’écouler à des vitesses différentes pour des observateurs se déplaçant à différentes vitesses. Dans cet exercice, nous considérerons deux jumeaux, Alice et Bob. Alice voyage dans un vaisseau spatial à une vitesse proche de celle de la lumière, tandis que Bob reste sur Terre.
Données:
- Vitesse du vaisseau d’Alice, \( v = 0.8c \), où \( c \) est la vitesse de la lumière.
- Durée du voyage d’Alice telle que mesurée sur Terre (temps propre de Bob), \( T = 10 \) ans.
Question:
Calculez la durée du voyage selon Alice (temps propre d’Alice) en utilisant la dilatation du temps. Comment ces résultats illustrent-ils le paradoxe des jumeaux?
Correction : Étude du paradoxe des jumeaux
1. Calcul du Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
Le facteur de Lorentz, \(\gamma\), est une mesure de la dilatation du temps due à la vitesse relative entre les systèmes de référence. Ce facteur est crucial pour comprendre comment le temps s’écoule différemment pour des observateurs en mouvement relatif.
Formule :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \left(\frac{v}{c}\right)^2}} \]
Données :
- Vitesse d’Alice, \(v = 0.8c\)
Calcul :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – (0.8)^2}} \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – 0.64}} \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{0.36}} \] \[ \gamma = \frac{1}{0.6} \approx 1.6667 \]
Le facteur de Lorentz pour Alice, qui voyage à 0.8 fois la vitesse de la lumière, est d’environ 1.6667. Cela signifie que le temps s’écoule environ 1.6667 fois plus lentement pour elle par rapport à un observateur au repos (Bob sur Terre).
2. Calcul du Temps Propre d’Alice (\(\Delta t’\))
Le temps propre, \(\Delta t’\), est le temps mesuré par un observateur en mouvement, ici Alice, par rapport à celui mesuré par un observateur resté au repos, Bob. La dilatation du temps montre que moins de temps s’écoule pour l’observateur en mouvement à haute vitesse comparé à celui au repos.
Formule :
\[ \Delta t’ = \frac{\Delta t}{\gamma} \]
Données :
- Durée du voyage selon Bob, \(\Delta t = 10\) ans.
- Facteur de Lorentz, \(\gamma = 1.6667\).
Calcul :
\[ \Delta t’ = \frac{10 \text{ ans}}{1.6667} \] \[ \Delta t’ \approx 6 \text{ ans} \]
Le temps mesuré par Alice pour son voyage est d’environ 6 ans. Cela est bien inférieur aux 10 ans mesurés par Bob, démontrant la dilatation du temps prédite par la relativité restreinte.
Conclusion:
Cette correction montre comment la vitesse affecte la perception du temps entre deux observateurs. Alice, voyageant à grande vitesse, a perçu un voyage plus court de 6 ans, tandis que pour Bob resté sur Terre, 10 ans se sont écoulés.
Étude du paradoxe des jumeaux
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