Étude du Mouvement Rectiligne Uniforme
Comprendre l’Étude du Mouvement Rectiligne Uniforme
Une nouvelle navette ultra-rapide relie deux stations de métro distantes de 20 km en milieu urbain. Cette navette est conçue pour maintenir une vitesse constante tout au long du trajet, minimisant ainsi les temps d’arrêt et garantissant un service efficace pendant les heures de pointe. Le système de régulation de vitesse garantit que la navette ne subit ni accélération ni décélération une fois sa vitesse cible atteinte.
Données:
- Distance entre les deux stations: \( D = 20 \) km
- Temps total du trajet: \( t = 15 \) min
Questions:
1. Calcul de la Vitesse Constante:
Calculez la vitesse constante \( v \) de la navette en m/s et en km/h.
2. Analyse du Temps:
Convertissez le temps de trajet donné en minutes en secondes pour être utilisé dans vos calculs.
3. Distance Parcourue en Temps Partiel:
Si la navette a parcouru un tiers de son trajet, combien de temps cela a-t-il pris? Utilisez la vitesse calculée pour déterminer ce temps partiel.
4. Comparaison avec une Vitesse Inférieure:
Si la vitesse de la navette était réduite de 10 km/h, quel serait le nouveau temps de trajet? Calculez ce temps et comparez-le avec le temps original pour évaluer l’impact de la réduction de vitesse.
Détails Supplémentaires pour l’Analyse:
- Examinez les implications d’une réduction de vitesse en termes de durée de trajet et d’efficacité du service.
- Discutez des avantages et des inconvénients d’augmenter la vitesse de la navette pour les services pendant les heures non pointues.
Correction : Étude du Mouvement Rectiligne Uniforme
1. Calcul de la Vitesse Constante
La vitesse constante se détermine par le rapport de la distance parcourue sur le temps de trajet.
Formule :
\[ v = \frac{d}{t} \]
Données :
- Distance entre les stations : \( D = 20 \, \text{km} \)
- Temps total du trajet : \( t = 15 \, \text{min} \)
Calcul en km/h :
- Conversion du temps en heures :
\[ 15\, \text{min} = frac{15}{60} = 0,25 \, \text{h} \]
- Substitution dans la formule :
\[ v = \frac{20 \, \text{km}}{0,25 \, \text{h}} = 80 \, \text{km/h} \]
Calcul en m/s :
- Conversion de la distance en mètres et du temps en secondes :
\[ 20 \, \text{km} = 20 \times 1000 = 20\,000 \, \text{m} \]
\[ 15 \, \text{min} = 15 \times 60 = 900 \, \text{s} \]
- Substitution dans la formule :
\[ v = \frac{20\,000 \, \text{m}}{900 \, \text{s}} \approx 22,22 \, \text{m/s} \]
Conclusion :
La vitesse constante de la navette est de 80 km/h ou environ 22,22 m/s.
2. Analyse du Temps
Pour faciliter les calculs, le temps de trajet est converti en secondes.
Formule :
\[ t \, (\text{en s}) = t \, (\text{en min}) \times 60 \]
Données :
- \( t = 15 \, \text{min} \)
Calcul :
\[ t = 15 \times 60 = 900 \, \text{s} \]
Conclusion :
Le temps total du trajet est de 900 secondes.
3. Distance Parcourue en Temps Partiel
On calcule d’abord la distance correspondant à un tiers du trajet, puis on détermine le temps nécessaire en utilisant la vitesse constante.
Calcul de la distance partielle :
\[ \text{Distance parcourue} = \frac{1}{3} \times 20 \, \text{km} \] \[ \text{Distance parcourue} = \frac{20}{3} \, \text{km} \] \[ \text{Distance parcourue} \approx 6,67 \, \text{km} \]
Formule pour le temps partiel :
\[ t_{\text{part}} = \frac{\text{distance partielle}}{\text{vitesse}} \]
Calcul en heures :
\[ t_{\text{part}} = \frac{20/3 \, \text{km}}{80 \, \text{km/h}} \] \[ t_{\text{part}} = \frac{20}{3 \times 80} \] \[ t_{\text{part}} = \frac{20}{240} \] \[ t_{\text{part}} = \frac{1}{12} \, \text{h} \]
Conversion en minutes :
\[ t_{\text{part}} = \frac{1}{12} \, \text{h} \times 60 \, \text{min/h} = 5 \, \text{min} \]
Conclusion :
La navette met 5 minutes pour parcourir un tiers de son trajet.
4. Comparaison avec une Vitesse Inférieure
On soustrait 10 km/h à la vitesse initiale pour obtenir la nouvelle vitesse, puis on recalcule le temps de trajet avec cette nouvelle vitesse.
Données et Calcul :
- Vitesse initiale : 80 km/h
- Vitesse réduite : 80 km/h − 10 km/h = 70 km/h
Formule pour le temps avec la vitesse réduite :
\[ t_{\text{nouveau}} = \frac{\text{distance}}{\text{nouvelle vitesse}} \]
Calcul en heures :
\[ t_{\text{nouveau}} = \frac{20 \, \text{km}}{70 \, \text{km/h}} \approx 0,2857 \, \text{h} \]
Conversion en minutes :
\[ t_{\text{nouveau}} = 0,2857 \, \text{h} \times 60 \, \text{min/h} \] \[ t_{\text{nouveau}} \approx 17,14 \, \text{min} \]
Comparaison avec le temps original :
- Temps original = 15 min
\[ \text{Différence} = 17,14 \, \text{min} – 15 \, \text{min} \] \[ \text{Différence} \approx 2,14 \, \text{min} \]
Conclusion :
En réduisant la vitesse de 10 km/h, le temps de trajet passe d’en 15 minutes à environ 17,14 minutes, soit une augmentation d’environ 2,14 minutes.
5. Analyse des Implications
Impact d’une réduction de vitesse :
- Durée du trajet : La diminution de la vitesse conduit à un temps de trajet plus long. Ici, une baisse de 10 km/h augmente le temps de trajet d’environ 2,14 minutes.
- Efficacité du service : Un trajet plus long peut réduire le nombre de rotations de la navette par heure, potentiellement augmentant le temps d’attente pour les passagers, ce qui est particulièrement problématique durant les heures de pointe.
Avantages et inconvénients d’augmenter la vitesse en heures non pointes :
- Avantages :
- Temps de trajet plus courts
- Amélioration de la satisfaction des passagers
- Possibilité de réduire le nombre de navettes nécessaires pour assurer le service - Inconvénients :
- Risque accru d’accidents en raison de la vitesse plus élevée
- Augmentation de la consommation d’énergie et des coûts d’exploitation
- Usure plus rapide du matériel et impact sur la sécurité
Conclusion générale :
L’optimisation de la vitesse de la navette doit être un compromis entre la réduction du temps de trajet et la garantie de la sécurité, tout en prenant en compte les coûts d’exploitation et les besoins spécifiques des heures de pointe versus les heures non pointues.
Étude du Mouvement Rectiligne Uniforme
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