Étude du Mouvement Circulaire d’un Satellite

Comprendre l’Étude du Mouvement Circulaire d’un Satellite

Un satellite artificiel est lancé sur une orbite circulaire autour de la Terre pour observer les changements climatiques.

L’altitude choisie pour le satellite permet d’optimiser ses instruments de mesure, tout en évitant les perturbations atmosphériques et les risques de collision avec d’autres satellites.

Vous êtes chargé de calculer divers paramètres de son orbite pour garantir son fonctionnement optimal.

Données:

• Rayon de la Terre, \( R_{\text{Terre}} \): \( 6\,371 \) km
• Masse de la Terre, \( M_{\text{Terre}} \): \( 5.97 \times 10^{24} \) kg
• Altitude du satellite, \( h \): \( 400 \) km
• Constante gravitationnelle, \( G \): \( 6.674 \times 10^{-11} \) m\(^3\)kg\(^{-1}\)s\(^{-2}\)
• Période de révolution supposée (à vérifier), \( T \): \( 92 \) minutes

Questions:

1. Calculer la vitesse orbitale du satellite :

Calculez la vitesse avec laquelle le satellite doit orbiter autour de la Terre pour maintenir une trajectoire circulaire.

2. Vérifier la période de révolution :

Vérifiez si la période de révolution donnée est correcte pour l’altitude spécifiée.

3. Analyser l’effet d’une modification de l’altitude :

Déterminez comment la vitesse orbitale et la période de révolution changeraient si l’altitude du satellite était augmentée de \( 100 \) km.

Correction : Étude du Mouvement Circulaire d’un Satellite

1. Calcul de la vitesse orbitale du satellite

Calcul du rayon de l’orbite \( R_{\text{orbit}} \):

\[ R_{\text{orbit}} = R_{\text{Terre}} + h \] \[ R_{\text{orbit}} = 6371\, \text{km} + 400\, \text{km} \] \[ R_{\text{orbit}} = 6771\, \text{km} \]

Conversion en mètres:

\[ R_{\text{orbit}} = 6771\,000\, \text{m} \]

Calcul de la vitesse orbitale \( v \):

\[ v = \sqrt{\frac{G \cdot M_{\text{Terre}}}{R_{\text{orbit}}}} \] \[ v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11}\, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2} \cdot 5.97 \times 10^{24}\, \text{kg}}{6771\,000\, \text{m}}} \] \[ v \approx \sqrt{\frac{3.98818 \times 10^{14}\, \text{m}^3\text{s}^{-2}}{6771\,000\, \text{m}}} \] \[ v \approx \sqrt{58\,934.8\, \text{m}^2\text{s}^{-2}} \] \[ v \approx 7679.6\, \text{m/s} \]

2. Vérification de la période de révolution

Calcul de la période théorique \( T_{\text{théorique}} \):

\[ T_{\text{théorique}} = \frac{2\pi R_{\text{orbit}}}{v} \] \[ T_{\text{théorique}} = \frac{2\pi \cdot 6771\,000\, \text{m}}{7679.6\, \text{m/s}} \] \[ T_{\text{théorique}} \approx \frac{42\,537\,720\, \text{m}}{7679.6\, \text{m/s}} \] \[ T_{\text{théorique}} \approx 5539\, \text{s} \]

Conversion en minutes:

\[ T_{\text{théorique}} \approx 92.32\, \text{minutes} \]

Comparaison avec la période donnée:

\[ T_{\text{donnée}} = 92\, \text{minutes} \]

La période calculée est très proche de la période donnée, ce qui indique que l’altitude est correctement choisie pour cette période de révolution.

3. Analyse de l’effet d’une modification de l’altitude

Nouvelle altitude \( h_{\text{nouvelle}} \):

\[ h_{\text{nouvelle}} = 400\, \text{km} + 100\, \text{km} \] \[ h_{\text{nouvelle}} = 500\, \text{km} \]

Nouveau rayon de l’orbite \( R_{\text{orbit, nouvelle}} \):

\[ R_{\text{orbit, nouvelle}} = 6371\, \text{km} + 500\, \text{km} \] \[ R_{\text{orbit, nouvelle}} = 6871\, \text{km} \] \[ R_{\text{orbit, nouvelle}} = 6871\,000\, \text{m} \]

Nouvelle vitesse orbitale \( v_{\text{nouvelle}} \):

\[ v_{\text{nouvelle}} = \sqrt{\frac{3.98818 \times 10^{14}\, \text{m}^3\text{s}^{-2}}{6871\,000\, \text{m}}} \] \[ v_{\text{nouvelle}} \approx \sqrt{58\,076.8\, \text{m}^2\text{s}^{-2}} \] \[ v_{\text{nouvelle}} \approx 7611.6\, \text{m/s} \]

Nouvelle période de révolution \( T_{\text{nouvelle}} \):

\[ T_{\text{nouvelle}} = \frac{2\pi \cdot 6871\,000\, \text{m}}{7611.6\, \text{m/s}} \] \[ T_{\text{nouvelle}} \approx \frac{43\,186\,520\, \text{m}}{7611.6\, \text{m/s}} \] \[ T_{\text{nouvelle}} \approx 5671\, \text{s} \] \[ T_{\text{nouvelle}} \approx 94.52\, \text{minutes} \]

Conclusion:

Augmenter l’altitude du satellite de 100 km diminue légèrement sa vitesse orbitale et augmente sa période de révolution. 

Étude du Mouvement Circulaire d’un Satellite

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