Étude du Condensat dans Piège Harmonique
Comprendre l’Étude du Condensat dans Piège Harmonique
Le condensat de Bose-Einstein (BEC) est un état de la matière formé par des bosons refroidis à des températures très proches du zéro absolu. À de telles températures, un grand nombre de bosons occupent l’état quantique de plus basse énergie, se comportant comme un seul quantum macroscopique. Cet exercice propose de calculer la température critique à laquelle un gaz de bosons idéal dans un piège harmonique tridimensionnel forme un condensat de Bose-Einstein.
Données:
- Nombre total de bosons, \( N = 10^5 \) bosons.
- Masse des bosons, \( m = 2.5 \times 10^{-26} \) kg (masse approximative d’un atome d’hélium).
- Fréquence du piège harmonique, \( \omega = 100 \, \text{s}^{-1} \).
Objectif:
Calculer la température critique \( T_c \) pour la formation du condensat de Bose-Einstein pour un gaz de bosons dans un piège harmonique isotrope tridimensionnel.
Questions:
1. Calculer la température critique \( T_c \) en utilisant les données fournies.
2. Interpréter le résultat en termes de la faisabilité d’atteindre cette température avec des techniques de refroidissement actuelles.
Correction : Étude du Condensat dans Piège Harmonique
1. Calculer la température critique \( T_c \)
Formules et Données Utilisées:
- Constante de Planck réduite, \( \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} \, \text{m}^2 \, \text{kg} / \text{s} \).
- Constante de Boltzmann, \( k_B = 1.380649 \times 10^{-23} \, \text{J/K} \).
- Fréquence du piège harmonique, \( \omega = 100 \, \text{s}^{-1} \).
- Nombre total de bosons, \( N = 10^5 \).
- Valeur de la fonction zêta de Riemann à l’argument 3, \( \zeta(3) \approx 1.20206 \).
Formule:
La température critique \( T_c \) pour la formation du condensat de Bose-Einstein est donnée par :
\[ T_c = \frac{\hbar \omega}{k_B} \left( \frac{N}{\zeta(3)} \right)^{\frac{1}{3}} \]
Calcul de \( \left(\frac{N}{\zeta(3)}\right)^{\frac{1}{3}} \)
Ce terme représente la racine cubique du nombre de bosons divisé par la valeur de la fonction zêta de Riemann à l’argument 3, reflétant le volume quantique occupé par les bosons à la température critique.
\[ \left(\frac{N}{\zeta(3)}\right)^{\frac{1}{3}} \]
Données :
- \(N = 10^5\)
- \(\zeta(3) \approx 1.20206\)
Calcul :
\[ \left(\frac{10^5}{1.20206}\right)^{\frac{1}{3}} \approx \left(83152.23\right)^{\frac{1}{3}} \approx 43.65 \]
Calcul de \( \frac{\hbar \omega}{k_B} \)
Ce terme est un facteur de conversion qui met en relation les unités énergétiques avec la température en Kelvin, permettant de transformer l’énergie quantique caractéristique du piège en une échelle de température.
\[ \frac{\hbar \omega}{k_B} \]
Données :
- \(\hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} \, \text{m}^2 \, \text{kg} / \text{s}\)
- \(\omega = 100 \, \text{s}^{-1}\)
- \(k_B = 1.380649 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)
Calcul :
\[ \frac{1.0545718 \times 10^{-34} \times 100}{1.380649 \times 10^{-23}} \approx 7.63747 \times 10^{-13} \, \text{K} \]
Calcul de \( T_c \)
La température critique \( T_c \) est calculée en multipliant les résultats des étapes 1 et 2. Elle représente la température en dessous de laquelle les bosons commencent à occuper l’état de plus basse énergie en nombre significatif, formant ainsi le condensat de Bose-Einstein.
Formule :
\[ T_c = (\text{Résultat de l’étape 2}) \times (\text{Résultat de l’étape 1}) \]
Calcul :
\[ T_c = 7.63747 \times 10^{-13} \times 43.65 \] \[ T_c \approx 3.333 \times 10^{-11} \, \text{K} \]
2. Interprétation :
La température calculée est extrêmement basse, soulignant les défis technologiques dans la réalisation pratique des expériences de condensation de Bose-Einstein. Les techniques actuelles de refroidissement, telles que le refroidissement par laser et évaporation magnéto-optique, sont capables d’atteindre des températures de l’ordre de nanoKelvin, rendant le condensat de Bose-Einstein accessible expérimentalement.
Étude du Condensat dans Piège Harmonique
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