Étude des Aberrations Sphériques
Comprendre l’Étude des Aberrations Sphériques
Dans un laboratoire de physique, un technicien utilise un système optique composé d’une lentille convergente pour focaliser un faisceau laser sur un échantillon microscopique. L’objectif est d’obtenir une image nette de la structure cellulaire pour des observations détaillées. Toutefois, l’image obtenue présente des défauts visibles qui peuvent être attribués à des aberrations sphériques introduites par la lentille. Ces aberrations sont dues à la déviation plus importante des rayons lumineux qui passent par les bords de la lentille par rapport à ceux qui passent près de l’axe optique.
Données:
- Distance focale de la lentille, \( f \): 50 mm
- Diamètre de la lentille, \( D \): 25 mm
- Indice de réfraction du matériau de la lentille, \( n \): 1.5
- Longueur d’onde du laser, \( \lambda \): 500 nm (0.5 microns)
- Position de l’objet par rapport à la lentille, \( d_o \): 100 mm
Questions:
1. Calculer la position de l’image formée par la lentille sans considérer les aberrations.
2. Estimer l’aberration sphérique, sachant que l’aberration sphérique longitudinale \( \Delta s’ \) peut être approximée par l’équation:
\[ \Delta s’ = \frac{h^4}{8n^2 f^3} \]
où \( h \) est la hauteur du rayon incident par rapport à l’axe principal (la moitié du diamètre de la lentille pour le rayon le plus éloigné de l’axe).
Correction : Étude des Aberrations Sphériques
1. Calcul de la position de l’image sans aberrations
La position de l’image formée par une lentille convergente est déterminée en utilisant la formule de conjugaison pour une lentille mince. Cette formule relie la distance focale de la lentille, la distance de l’objet à la lentille, et la distance de l’image à la lentille.
Formule :
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_i} + \frac{1}{d_o} \]
où \( f \) est la distance focale, \( d_i \) est la distance de l’image à la lentille, et \( d_o \) est la distance de l’objet à la lentille.
Données :
- \( f = 50 \) mm
- \( d_o = 100 \) mm
Calcul :
\[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} – \frac{1}{d_o} \] \[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{50} – \frac{1}{100} \] \[ \frac{1}{d_i} = \frac{2}{100} – \frac{1}{100} \] \[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{100} \] \[ d_i = \frac{100}{1} = 100 \text{ mm} \]
La position de l’image formée par la lentille, sans considérer les aberrations, est à 100 mm de la lentille du côté image.
2. Estimation de l’aberration sphérique
L’aberration sphérique est un défaut optique où les rayons lumineux qui passent par les bords d’une lentille sont focalisés à une distance différente par rapport à ceux passant près de l’axe optique. Cela se traduit par une image floue ou déformée. Pour estimer l’aberration sphérique, nous utilisons une formule qui prend en compte la hauteur des rayons par rapport à l’axe principal, l’indice de réfraction de la lentille et la distance focale.
Formule :
\[ \Delta s’ = \frac{h^4}{8n^2 f^3} \]
où \( h \) est la hauteur du rayon incident par rapport à l’axe principal, \( n \) est l’indice de réfraction du matériau de la lentille, et \( f \) est la distance focale.
Données :
- \( h = \frac{D}{2} = \frac{25 \text{ mm}}{2} = 12.5 \text{ mm} = 0.0125 \text{ m} \)
- \( n = 1.5 \)
- \( f = 50 \text{ mm} = 0.05 \text{ m} \)
Calcul :
\[ \Delta s’ = \frac{(0.0125 \text{ m})^4}{8 \times (1.5)^2 \times (0.05 \text{ m})^3} \] \[ \Delta s’ = \frac{0.0000000244140625 \text{ m}^4}{8 \times 2.25 \times 0.000125 \text{ m}^3} \] \[ \Delta s’ = \frac{0.0000000244140625}{0.000225} \] \[ \Delta s’ = 0.1085 \text{ mm} \]
L’aberration sphérique estimée est de 0.1085 mm, indiquant que les rayons passant par les bords de la lentille se focalisent légèrement en arrière du point focal calculé sans prendre en compte les aberrations. Cette aberration pourrait affecter la netteté de l’image, en particulier pour des applications nécessitant une haute précision.
Étude des Aberrations Sphériques
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