Étude de la Variation de Pression dans un Liquide
Comprendre l’Étude de la Variation de Pression dans un Liquide
Dans un laboratoire de recherche en matière condensée, un physicien étudie les propriétés thermodynamiques d’un liquide spécial qui pourrait être utilisé dans de nouvelles technologies de refroidissement. Le liquide est contenu dans un cylindre vertical et sa température est contrôlée très précisément pour observer les changements de sa pression.
Données:
- Hauteur du liquide dans le cylindre : \(h = 0.8\) mètres
- Densité du liquide : \(\rho = 850\) kg/m³
- Accélération due à la gravité : \(g = 9.81\) m/s²
- Température initiale du liquide : \(T_{\text{initiale}} = 20\) °C
- Coefficient de dilatation thermique volumique du liquide : \(\beta = 0.00065\) /°C
Question:
Calculer la variation de la pression au fond du cylindre quand la température du liquide augmente de 10 °C. Considérez que la variation de la densité due à la dilatation thermique est donnée par la relation:
\[ \rho(T) = \frac{\rho_{\text{initiale}}}{1 + \beta \Delta T} \]
où \(\Delta T\) est la variation de la température.
Correction : Étude de la Variation de Pression dans un Liquide
1. Calcul de la densité du liquide à la nouvelle température
La densité du liquide change en fonction de la température. Cette variation est décrite par la formule:
\[ \rho(T) = \frac{\rho_{\text{initiale}}}{1 + \beta \Delta T} \]
où \(\beta\) est le coefficient de dilatation thermique volumique et \(\Delta T\) la variation de la température.
Données :
- \(\rho_{\text{initiale}} = 850 \text{ kg/m}^3\)
- \(\beta = 0.00065 \text{ /°C}\)
- \(\Delta T = 10 \text{ °C}\)
Calcul :
\[ \rho(T) = \frac{850}{1 + 0.00065 \times 10} \] \[ \rho(T) = \frac{850}{1.0065} \] \[ \rho(T) \approx 844.1 \text{ kg/m}^3 \]
2. Détermination de la pression au fond du cylindre avant et après la hausse de température
La pression au fond du cylindre est influencée par la hauteur du liquide et sa densité. La pression peut être calculée avec la formule hydrostatique:
\[ P = \rho g h \]
Données :
- Hauteur du liquide \(h = 0.8 \text{ m}\)
- Accélération due à la gravité \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
- Densité initiale \(\rho_{\text{initiale}} = 850 \text{ kg/m}^3\)
- Densité à \(T_{\text{finale}} \approx 844.1 \text{ kg/m}^3\)
Calcul de la pression initiale :
\[ P_{\text{initiale}} = 850 \times 9.81 \times 0.8 \] \[ P_{\text{initiale}} = 6665.88 \text{ Pa} \]
Calcul de la pression finale :
\[ P_{\text{finale}} = 844.1 \times 9.81 \times 0.8 \] \[ P_{\text{finale}} = 6615.35 \text{ Pa} \]
3. Calcul de la variation de la pression
La variation de la pression est la différence entre la pression initiale et la pression finale.
Formule :
\[ \Delta P = P_{\text{finale}} – P_{\text{initiale}} \]
Données :
- \(P_{\text{initiale}} = 6665.88 \text{ Pa}\)
- \(P_{\text{finale}} = 6615.35 \text{ Pa}\)
Calcul :
\[ \Delta P = 6615.35 – 6665.88 \] \[ \Delta P = -50.53 \text{ Pa} \]
Conclusion :
La pression au fond du cylindre diminue de 50.53 Pa lorsque la température augmente de 10 °C, due à la diminution de la densité par effet de la dilatation thermique.
Étude de la Variation de Pression dans un Liquide
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