Étude de la Trajectoire Parabolique en Basketball
Comprendre l’Étude de la Trajectoire Parabolique en Basketball
Un joueur de basketball se trouve à une distance de 6 mètres du panier. Il lance le ballon avec une vitesse initiale sous un angle de \(45^\circ\) par rapport à l’horizontale.
Le panier est situé à une hauteur de 3 mètres du sol. On néglige la résistance de l’air pour cet exercice.
L’objectif est de calculer si le ballon atteint le panier et à quelle hauteur passe le ballon lorsqu’il est directement au-dessus du panier.
Données :
- Distance horizontale du joueur au panier : \(d = 6\,m\)
- Hauteur du panier : \(h = 3\,m\)
- Angle de lancement : \(\theta = 45^\circ\)
- Accélération due à la gravité : \(g = 9.81\,m/s^2\)
Questions :
1. Calculer la vitesse initiale \(v_0\) nécessaire pour que le ballon atteigne juste le panier.
2. Déterminer le temps de vol \(t\) du ballon jusqu’à ce qu’il soit directement au-dessus du panier.
3. Calculer la hauteur du ballon lorsqu’il passe directement au-dessus du panier.
Correction : Étude de la Trajectoire Parabolique en Basketball
1. Calcul de la Vitesse Initiale \(v_0\)
Pour atteindre une cible à une distance horizontale spécifique et à une hauteur donnée, il est crucial de déterminer la vitesse initiale nécessaire. Cette vitesse dépend de la distance à parcourir, de l’angle de lancement, et de la gravité.
Formule:
La portée \(R\) pour un projectile lancé à un angle \(\theta\) est donnée par :
\[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \]
Données:
- Distance horizontale \(R = 6\,m\)
- Angle de lancement \(\theta = 45^\circ\)
- Gravité \(g = 9.81\,m/s^2\)
Calcul:
En substituant les données :
\[ 6 = \frac{v_0^2 \sin(90^\circ)}{9.81} \] \[ v_0^2 = 6 \times 9.81 \] \[ v_0 = \sqrt{58.86} \] \[ v_0 \approx 7.67\,m/s \]
La vitesse initiale nécessaire pour que le ballon atteigne le panier est d’environ 7.67 m/s.
2. Calcul du Temps de Vol \(t\)
Le temps de vol jusqu’à ce que le projectile atteigne la cible horizontalement est calculé en divisant la distance par la composante horizontale de la vitesse initiale.
Formule:
\[ t = \frac{d}{v_0 \cos(\theta)} \]
Données:
- \(d = 6\,m\)
- \(v_0 = 7.67\,m/s\)
- \(\theta = 45^\circ\)
Calcul:
\[ t = \frac{6}{7.67 \times \cos(45^\circ)} \] \[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ t = \frac{6}{7.67 \times 0.707} \] \[ t \approx 1.11\,s \]
Le temps de vol nécessaire pour que le ballon atteigne la distance horizontale du panier est d’environ 1.11 secondes.
3. Calcul de la Hauteur du Ballon au-dessus du Panier
Pour vérifier si le ballon passe par le panier, nous devons calculer sa hauteur au moment où il est directement au-dessus du panier.
Formule:
\[ y = v_0 \sin(\theta) t – \frac{1}{2} g t^2 \]
Calcul:
\[ y = 7.67 \sin(45^\circ) \times 1.11 – \frac{1}{2} \times 9.81 \times (1.11)^2 \] \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ y = 7.67 \times 0.707 \times 1.11 – 0.5 \times 9.81 \times 1.23 \] \[ y = 5.99 – 6.03 \] \[ y \approx 2.96\,m \]
La hauteur du ballon lorsqu’il est directement au-dessus du panier est d’environ 2.96 mètres, ce qui est juste en dessous de la hauteur du panier (3 mètres).
Conclusion
Les calculs montrent que le ballon, lancé avec une vitesse initiale de 7.67 m/s sous un angle de 45 degrés, passe très près du bord du panier à une hauteur d’environ 2.96 mètres, ce qui indique qu’il pourrait juste manquer ou toucher le bord du panier.
Une légère augmentation de la vitesse initiale ou un ajustement de l’angle pourrait garantir que le ballon entre dans le panier.
Étude de la Trajectoire Parabolique en Basketball
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