Étude de la Trajectoire d’une Balle
Comprendre l’Étude de la Trajectoire d’une Balle
Un véhicule de livraison se déplace sur une route rectiligne qui s’étend vers l’est. À un certain moment, le conducteur décide de lancer une balle directement vers le haut depuis la fenêtre de son véhicule. Nous allons examiner le mouvement de la balle à partir de deux référentiels différents : le référentiel du sol (considéré comme un référentiel inertiel) et le référentiel du véhicule (un référentiel non inertiel en mouvement).
Données:
- Vitesse du véhicule: \(v = 20 \, \text{m/s}\) vers l’est.
- Vitesse initiale de la balle par rapport au véhicule lorsqu’elle est lancée vers le haut: \(v_{\text{balle}} = 10 \, \text{m/s}\).
- Accélération due à la gravité: \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\).
Questions:
1. Calculer la trajectoire de la balle dans le référentiel du sol.
2. Déterminer le temps de vol total de la balle dans l’air avant qu’elle ne retombe dans le véhicule.
3. Trouver la distance horizontale parcourue par la balle par rapport au sol avant de retomber.
Correction : Étude de la Trajectoire d’une Balle
1. Calcul de la trajectoire de la balle dans le référentiel du sol
La trajectoire d’un projectile dans un référentiel inertiel (ici le sol) est décrite par les équations du mouvement parabolique.
La composante horizontale (sans accélération) est donnée par :
\[ x(t) = x_0 + v_{0x}\,t \]
La composante verticale (sous l’influence de la gravité) est:
\[ y(t) = y_0 + v_{0y}\,t – \frac{1}{2}\,g\,t^2 \]
On choisit ici l’origine \((x_0, y_0) = (0, 0)\).
Formules:
\[ x(t) = v_{0x}\,t \]
\[ y(t) = v_{0y}\,t – \frac{1}{2}\,g\,t^2 \]
Données:
- \(v_{0x} = 20\,\text{m/s}\)
- \(v_{0y} = 10\,\text{m/s}\)
- \(g = 9,81\,\text{m/s}^2\)
Calcul:
1. Écriture de la position horizontale :
\[ x(t) = 20\,t \]
2. Écriture de la position verticale :
\[ y(t) = 10\,t – \frac{1}{2}\,(9,81)\,t^2 \] \[ y(t) = 10\,t – 4,905\,t^2 \]
Trajectoire paramétrique :
\[ \begin{cases}
x(t) = 20\,t \\
y(t) = 10\,t – 4,905\,t^2
\end{cases} \]
Si l’on souhaite exprimer \(y\) en fonction de \(x\), on élimine \(t\) en posant \(t = \frac{x}{20}\) :
\[ y(x) = 10\,\left(\frac{x}{20}\right) – 4,905\,\left(\frac{x}{20}\right)^2 = \frac{x}{2} – 4,905\,\frac{x^2}{400} \]
\[ \frac{4,905}{400} \approx 0,01226 \quad \Longrightarrow \quad y(x) \approx \frac{x}{2} – 0,01226\,x^2 \]
2. Détermination du temps de vol total de la balle
Dans le référentiel du véhicule (ou dans la composante verticale du référentiel du sol), la balle suit un mouvement vertical de type projectile. Le temps total de vol correspond au temps mis pour remonter (jusqu’à l’altitude maximale) et redescendre jusqu’au point de départ (la fenêtre du véhicule).
Formule:
Le temps de vol total pour un mouvement vertical avec vitesse initiale \(v_{0y}\) est donné par :
\[ T = \frac{2\,v_{0y}}{g} \]
Données:
- \(v_{0y} = 10\,\text{m/s}\)
- \(g = 9,81\,\text{m/s}^2\)
Calcul:
Substituons les valeurs :
\[ T = \frac{2 \times 10}{9,81} = \frac{20}{9,81} \approx 2,04\,\text{s} \]
Temps de vol total :
\[ T \approx 2,04\,\text{s} \]
3. Calcul de la distance horizontale parcourue par rapport au sol
La distance horizontale parcourue par la balle est déterminée par sa vitesse horizontale constante \(v_{0x}\) multipliée par le temps de vol total \(T\).
Formule:
La distance horizontale \(d\) est donnée par :
\[ d = v_{0x} \times T \]
Données:
- \(v_{0x} = 20\,\text{m/s}\)
- \(T \approx 2,04\,\text{s}\)
Calcul:
Substituons les valeurs :
\[ d = 20\,\text{m/s} \times 2,04\,\text{s} \] \[ d \approx 40,8\,\text{m} \]
Distance horizontale parcourue :
\[ d \approx 40,8\,\text{m} \]
Cette démarche montre comment, en passant d’un référentiel relatif (véhicule) à un référentiel inertiel (sol), la balle suit une trajectoire parabolique dont le temps de vol est déterminé uniquement par sa composante verticale, et la distance horizontale se trouve en multipliant ce temps par la vitesse horizontale constante du véhicule.
Étude de la Trajectoire d’une Balle
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