Dynamique des fluides dans une artère rétrécie

Comprendre la Dynamique des fluides dans une artère rétrécie

Un médecin analyse le flux sanguin dans une artère partiellement obstruée par une plaque d’athérome. L’artère normale a un rayon de 2 mm et un débit sanguin de 5 mL/s. En présence de la plaque, le rayon effectif est réduit à 1,5 mm.

Données :

Viscosité du sang (\(\eta\)) = \(0,004\,Pa\cdot s\)
Longueur de l’artère obstruée (\(L\)) = \(2\,cm\)
Pression différentielle initiale (\(\Delta P_0\)) = \(50\,Pa\)
Rayon initial (\(r_0\)) = \(2\,mm\)
Rayon obstrué (\(r_1\)) = \(1,5\,mm\)

Questions :

1. Calculez le nouveau débit sanguin (\(Q_1\)) dans l’artère rétrécie en utilisant la loi de Poiseuille.

2. Déterminez la pression différentielle (\(\Delta P_1\)) nécessaire pour maintenir le débit initial (\(Q_0 = 5\,mL/s\)) malgré l’obstruction.

Correction : Dynamique des fluides dans une artère rétrécie

1. Calcul du nouveau débit sanguin \(Q_1\) dans l’artère rétrécie

La loi de Poiseuille permet de calculer le débit d’un fluide visqueux dans un tube cylindrique. Elle dépend fortement du rayon du tube (puissance 4). Lorsque l’artère est rétrécie par une plaque, le débit diminue si la pression reste identique.

Formule utilisée :

\[ Q = \frac{\pi \cdot \Delta P \cdot r^4}{8 \cdot \eta \cdot L} \]

Données :

Coefficient de viscosité du sang (\(\eta\)) = \(0.004\,Pa\cdot s\)
Longueur de la zone obstruée (\(L\)) = \(2\,cm = 0.02\,m\)
Pression différentielle initiale (\(\Delta P_0\)) = \(50\,Pa\)
Rayon obstrué (\(r_1\)) = \(1.5\,mm = 0.0015\,m\)

Calcul :

Convertir les unités :

\(r_1 = 1.5\,mm = 0.0015\,m\).
\(L = 2\,cm = 0.02\,m\).

Appliquer la formule :

\[ Q_1 = \frac{\pi \cdot 50 \cdot (0.0015)^4}{8 \cdot 0.004 \cdot 0.02} \] \[ Q_1 = \frac{7.95 \times 10^{-10}}{0.00064} \] \[ Q_1 \approx 1.242 \times 10^{-6}\,m^3/s \]

Convertir en mL/s :

\[ 1\,m^3 = 10^6\,L = 10^9\,mL \] \[ Q_1 \approx 1.242\,mL/s \]

Conclusion :

Avec la réduction du rayon, le débit chute à 1,24 mL/s (arrondi à 1,2 mL/s). Cela illustre l’impact critique du rayon sur le débit (proportionnel à \(r^4\)) : une petite obstruction réduit fortement la circulation.

2. Calcul de la pression différentielle \(\Delta P_1\) pour maintenir le débit initial

Pour compenser la réduction de rayon et maintenir le débit initial (\(Q_0 = 5\,mL/s\)), il faut augmenter la pression différentielle. La loi de Poiseuille permet de relier \(\Delta P\) et \(r^4\).

Formule utilisée :

\[ \Delta P_1 = \Delta P_0 \cdot \left(\frac{r_0}{r_1}\right)^4 \]

Données :

Rayon initial (\(r_0\)) = \(2\,mm = 0.002\,m\)
Rayon obstrué (\(r_1\)) = \(1.5\,mm = 0.0015\,m\)
Pression initiale (\(\Delta P_0\)) = \(50\,Pa\)

Calcul :

Calculer le rapport des rayons :

\[ \frac{r_0}{r_1} = \frac{0.002}{0.0015} = \frac{4}{3} \approx 1.333 \]

Élever à la puissance 4 :

\[ \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81} \approx 3.1605 \]

Appliquer la formule :

\[ \Delta P_1 = 50 \cdot 3.1605 \] \[ \Delta P_1 \approx 158\,Pa \]

Note :

Si on utilise directement la loi de Poiseuille avec \(Q_0 = 5\,mL/s\), le calcul donne :

Cette différence vient d’une approximation dans la méthode de proportionnalité. La réponse exacte est 201 Pa, mais l’approximation par ratio (\(\frac{r_0}{r_1}\)) est parfois utilisée pour des estimations rapides.

Synthèse

Question 1 : Le débit chute à 1,2 mL/s à cause de la réduction du rayon.
Question 2 : Pour maintenir \(Q_0 = 5\,mL/s\), il faut augmenter la pression à ≈ 201 Pa.

Remarque pédagogique :
La loi de Poiseuille montre que le rayon est le facteur dominant dans la régulation du débit. Une réduction de 25 % du rayon (de 2 mm à 1,5 mm) entraîne une chute de débit de 76 % (de 5 mL/s à 1,2 mL/s). Ce mécanisme explique pourquoi les obstructions artérielles (athérosclérose) ont des conséquences aussi graves sur la circulation sanguine.

Dynamique des fluides dans une artère rétrécie

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