Dilatation du Temps en Mission Spatiale

Comprendre la Dilatation du Temps en Mission Spatiale

Un satellite scientifique, équipé de précises horloges atomiques, est mis en orbite autour de la Terre pour tester les effets de la relativité restreinte. Le satellite orbite à une vitesse constante très élevée.

Des scientifiques sur Terre veulent comparer le temps mesuré par les horloges du satellite avec celui mesuré par des horloges similaires restées sur Terre afin d’analyser l’effet de la vitesse orbitale élevée sur la dilatation du temps prédite par la relativité restreinte.

Données:

• Vitesse du satellite, \( v = 27,000 \) km/s (environ 9% de la vitesse de la lumière).
• Durée de l’observation sur Terre, \( T_{\text{terre}} = 24 \) heures.

Question:

Calculer le temps \( T_{\text{satellite}} \) indiqué par les horloges du satellite après 24 heures terrestres.

Correction : Dilatation du Temps en Mission Spatiale

Données :

• Vitesse du satellite, \( v = 27,000 \) km/s
• Durée mesurée sur Terre, \( T_{\text{terre}} = 24 \) heures
• Vitesse de la lumière, \( c = 300,000 \) km/s

Formule de la dilatation du temps :

\[ T_{\text{satellite}} = \frac{T_{\text{terre}}}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} \]

Étape 1 : Conversion de la Vitesse du Satellite en Fraction de la Vitesse de la Lumière

Calculons:

\[ \beta = \frac{v}{c} \]

où \( \beta \) est la fraction de la vitesse de la lumière à laquelle se déplace le satellite.

\[ \beta = \frac{v}{c} = \frac{27,000 \, \text{km/s}}{300,000 \, \text{km/s}} = 0.09 \]

Étape 2 : Calcul du Carré de \( \beta \)

Pour simplifier la formule de dilatation du temps, calculons \( \beta^2 \).

\[ \beta^2 = (0.09)^2 = 0.0081 \]

Étape 3 : Substitution dans la Formule de Dilatation du Temps

Remplaçons \( \beta^2 \) dans la formule pour trouver \( T_{\text{satellite}} \).

\[ T_{\text{satellite}} = \frac{T_{\text{terre}}}{\sqrt{1 – \beta^2}} \] \[ T_{\text{satellite}} = \frac{24 \, \text{heures}}{\sqrt{1 – 0.0081}} \]

Calcul du Dénominateur:

Le dénominateur de la formule est crucial pour déterminer la dilatation du temps. Calculons-le :

\[ \sqrt{1 – 0.0081} \approx \sqrt{0.9919} \approx 0.9959 \]

Calcul Final de \( T_{\text{satellite}} \):

Enfin, effectuons le calcul final pour obtenir le temps mesuré par les horloges du satellite.

\[ T_{\text{satellite}} \approx \frac{24 \, \text{heures}}{0.9959} \] \[ T_{\text{satellite}} \approx 24.1 \, \text{heures} \]

Conclusion :

Après une période de 24 heures sur Terre, les horloges à bord du satellite indiqueront environ 24.1 heures, ce qui montre une dilatation du temps de 0.1 heure ou 6 minutes.

Cette observation est en accord avec la théorie de la relativité restreinte qui prévoit que le temps dans un référentiel en mouvement rapide par rapport à un observateur sera dilaté.

Dilatation du Temps en Mission Spatiale