Diffraction d’un laser He–Ne
Comprendre la Diffraction d’un laser He–Ne
Un faisceau laser He–Ne de longueur d’onde λ = 632,8 nm éclaire successivement une fente simple puis un réseau de diffraction dans un laboratoire de physique photonique. Les motifs de diffraction sont projetés sur un écran placé à une distance connue. L’objectif est de déterminer la géométrie de la fente et du réseau, puis d’évaluer le pouvoir de résolution spectrale du système.
Données
| Grandeur | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Longueur d’onde du laser, λ | 632,8 | nm |
| Distance fente → écran (Partie A), D₁ | 2,00 | m |
| Distance réseau → écran (Partie B), D₂ | 1,50 | m |
| Distance entre 1er minimum (–1) et 1er minimum (+1) (Partie A) | 12,0 | mm |
| Densité de traits du réseau | 600 | lignes/mm |
| Largeur du faisceau incident sur le réseau | 10,0 | mm |
Questions
Partie A – Diffraction par une fente simple
1. Écrire la relation liant la largeur de la fente \(a\), l’angle \(\theta_1\) du premier minimum et la longueur d’onde \(\lambda\).
2. À partir de la distance entre premiers minima et de \(D_1\), calculer l’angle \(\theta_1\).
3. En déduire la largeur \(a\) de la fente (en mètres).
4. Vérifier la validité de l’approximation \(\sin \theta_1 \approx \tan \theta_1\) en calculant et comparant les deux valeurs.
Partie B – Diffraction par un réseau
1. Calculer l’espacement \(d\) entre deux traits du réseau (en mètres).
2. Pour les ordres \(m = 1\) et \(m = 2\), déterminer l’angle de diffraction \(\theta_m\) à l’aide de la loi du réseau.
3. Calculer la position \(x_m\) des maxima d’ordre 1 et 2 sur l’écran (distance horizontale depuis le centre).
4. Déterminer l’ordre maximal \(m_{\max}\) observable (condition \(\sin \theta_m \leq 1\)).
Partie C – Pouvoir de résolution du réseau
1. Calculer le nombre total de traits \(N\) éclairés par le faisceau.
2. Exprimer le pouvoir de résolution \(R\) du réseau pour l’ordre \(m = 1\).
3. En déduire la plus petite différence de longueur d’onde \(\Delta \lambda_{\min}\) pouvant être résolue (ordre 1).
Correction: Diffraction d’un laser He–Ne
Partie A — Diffraction par une fente simple
1. Relation entre \(a\), \(\theta_1\) et \(\lambda\)
Pour une fente simple, les minima du motif de diffraction se situent pour \(m = \pm 1\) selon la relation
\[ a \sin \theta_m = m\lambda. \]
Pour le premier minimum (\(m = 1\)), on a :
\[ a \sin \theta_1 = \lambda. \]
Données :
- \(\lambda = 632,8\) nm \(= 632,8 \times 10^{-9}\) m.
Cette relation ne nécessite pas de substitution numérique immédiate.
2. Calcul de l’angle \(\theta_1\) à partir de la distance entre les minima
Sur l’écran situé à \(D_1\) de la fente, la position des premiers minima est donnée par :
\[ \tan \theta_1 = \frac{x}{D_1}, \]
où \(x\) est la distance entre le centre (maximum) et l’un des minima. La distance entre le minimum de gauche (\(-1\)) et celui de droite (\(+1\)) est de 12,0 mm.
Formule :
\[ x = \frac{12,0 \text{ mm}}{2} = 6,0 \text{ mm}, \]
\[ \tan \theta_1 = \frac{x}{D_1}. \]
Données :
- \(x = 6,0\) mm \(= 6,0 \times 10^{-3}\) m,
- \(D_1 = 2,00\) m.
Calcul :
\[ \tan \theta_1 = \frac{6,0 \times 10^{-3}}{2,00} = 3,0 \times 10^{-3}. \]
Pour de très petits angles, \(\tan \theta_1 \approx \theta_1\) (en radians), donc :
\[ \theta_1 \approx 3,0 \times 10^{-3} \text{ rad}. \]
3. Calcul de la largeur \(a\) de la fente
En utilisant la relation \(a \sin \theta_1 = \lambda\) et l’approximation pour petits angles (\(\sin \theta_1 \approx \theta_1\)), on isole \(a\).
Formule :
\[ a = \frac{\lambda}{\sin \theta_1}. \]
Données :
- \(\lambda = 632,8 \times 10^{-9}\) m,
- \(\sin \theta_1 \approx 3,0 \times 10^{-3}\).
Calcul :
\[ a = \frac{632,8 \times 10^{-9}}{3,0 \times 10^{-3}} \] \[ a \approx 2,1093 \times 10^{-4} \text{ m}. \]
Ainsi, la largeur de la fente est d’environ 210,9 μm.
4. Vérification de l’approximation \(\sin \theta_1 \approx \tan \theta_1\)
Pour de petits angles (en radians), \(\sin \theta\) et \(\tan \theta\) sont très proches.
Nous avons calculé \(\tan \theta_1 = 3,0 \times 10^{-3}\). Calculons \(\sin (3,0 \times 10^{-3})\).
Formule :
\[ \sin \theta_1 = \sin (3,0 \times 10^{-3}). \]
Données :
- \( \theta_1 = 3,0 \times 10^{-3} \) rad.
Calcul :
Pour \( \theta_1 = 3,0 \times 10^{-3}\) rad, on a :
\[ \sin (3,0 \times 10^{-3}) \approx 3,0 \times 10^{-3}. \]
L’approximation est donc valide.
Partie B — Diffraction par un réseau
1. Calcul de l’espacement \(d\) entre deux traits du réseau
La densité du réseau est donnée en lignes par millimètre. L’espacement \(d\) est l’inverse de cette densité.
Formule :
\[ d = \frac{1}{\text{Nombre de lignes par mm}}. \]
Données :
- Densité \(= 600\) lignes/mm,
- \(1 \text{ mm} = 10^{-3}\) m.
Calcul :
\[ d = \frac{1}{600} \text{ mm} \] \[ d = \frac{1 \times 10^{-3} \text{ m}}{600} \] \[ d \approx 1,67 \times 10^{-6} \text{ m}.\]
2. Détermination de l’angle de diffraction \(\theta_m\) pour \(m = 1\) et \(m = 2\)
Pour un réseau, la loi de diffraction est :
\[ d \sin \theta_m = m\lambda. \]
On isole \(\sin \theta_m\) pour chaque ordre \(m\).
Formule :
\[ \sin \theta_m = \frac{m\lambda}{d}. \]
Données :
- \(\lambda = 632,8 \times 10^{-9}\) m,
- \(d = 1,67 \times 10^{-6}\) m.
Calcul :
- Pour \(m = 1\) :
\[ \sin \theta_1 = \frac{632,8 \times 10^{-9}}{1,67 \times 10^{-6}} \approx 0,379, \]
\[ \theta_1 \approx \arcsin(0,379) \approx 22,3^\circ. \]
- Pour \(m = 2\) :
\[ \sin \theta_2 = \frac{2 \times 632,8 \times 10^{-9}}{1,67 \times 10^{-6}} \approx 0,758, \]
\[ \theta_2 \approx \arcsin(0,758) \approx 49,6^\circ. \]
3. Calcul de la position \(x_m\) des maxima d’ordre 1 et 2 sur l’écran
La position sur l’écran est donnée par :
\[ x_m = D_2 \tan \theta_m, \]
où \(D_2\) est la distance entre le réseau et l’écran.
Données :
- \(D_2 = 1,50\) m,
- \( \theta_1 \approx 22,3^\circ\) et \(\theta_2 \approx 49,6^\circ\).
Calcul :
- Pour \(m = 1\) :
\[ \tan(22,3^\circ) \approx 0,410, \]
\[ x_1 = 1,50 \times 0,410 \approx 0,615 \text{ m}. \]
- Pour \(m = 2\) :
\[ \tan(49,6^\circ) \approx 1,178, \]
\[ x_2 = 1,50 \times 1,178 \approx 1,767 \text{ m}. \]
4. Détermination de l’ordre maximal \(m_{\max}\) observable
La condition pour qu’un maximum soit observable est que \(\sin \theta_m \leq 1\). Ainsi,
\[ \frac{m\lambda}{d} \leq 1. \]
Formule :
\[ m_{\max} = \left\lfloor \frac{d}{\lambda} \right\rfloor. \]
Données :
- \(d = 1,67 \times 10^{-6}\) m,
- \(\lambda = 632,8 \times 10^{-9}\) m.
Calcul :
\[ \frac{d}{\lambda} = \frac{1,67 \times 10^{-6}}{632,8 \times 10^{-9}} \approx 2,64. \]
L’ordre maximal entier observable est donc :
\[ m_{\max} = 2. \]
Partie C — Pouvoir de résolution du réseau
1. Calcul du nombre total de traits \(N\) éclairés par le faisceau
Le nombre total de traits \(N\) est obtenu en multipliant la largeur du faisceau incident par la densité de lignes.
Formule :
\[ N = (\text{Largeur du faisceau en mm}) \times (\text{Nombre de lignes par mm}). \]
Données :
- Largeur du faisceau \(= 10,0\) mm,
- Densité \(= 600\) lignes/mm.
Calcul :
\[ N = 10,0 \times 600 \] \[ N = 6000 \text{ lignes}. \]
2. Expression du pouvoir de résolution \(R\) pour l’ordre \(m = 1\)
Le pouvoir de résolution d’un réseau est donné par :
\[ R = mN. \]
Formule :
\[ R = m \times N. \]
Données :
- Pour \(m = 1\),
- \(N = 6000\).
Calcul :
\[ R = 1 \times 6000 = 6000. \]
3. Détermination de la plus petite différence de longueur d’onde \(\Delta \lambda_{\min}\) pouvant être résolue (ordre 1)
Le pouvoir de résolution \(R\) s’exprime également par :
\[ R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda_{\min}}, \]
ce qui permet d’isoler \(\Delta \lambda_{\min}\).
Formule :
\[ \Delta \lambda_{\min} = \frac{\lambda}{R}. \]
Données :
- \(\lambda = 632,8 \times 10^{-9}\) m,
- \(R = 6000\).
Calcul :
\[ \Delta \lambda_{\min} = \frac{632,8 \times 10^{-9}}{6000} \] \[ \Delta \lambda_{\min} \approx 1,0547 \times 10^{-10} \text{ m}. \]
En nanomètres :
\[ \Delta \lambda_{\min} \approx 0,1055 \text{ nm}. \]
Diffraction d’un laser He–Ne
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