Détente adiabatique réversible d’un gaz parfait
Comprendre la Détente adiabatique réversible d’un gaz parfait
On considère 1 mole d’un gaz parfait diatomique (par exemple l’azote) dont le rapport des capacités calorifiques vaut
\[ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1.4 \]
Les conditions initiales du gaz sont :
- Pression initiale : \(P_1 = 1 \, \text{bar}\)
\(\rightarrow\) (Attention :
\(1 \, \text{bar} = 1 \times 10^5 \, \text{Pa}\))
- Température initiale : \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
Le gaz subit une détente adiabatique réversible (c’est-à-dire sans échange de chaleur, \(Q = 0\)) qui l’amène à occuper un volume final
- \(V_2 = 3 V_1\)
La constante des gaz parfaits est :
- \(R = 8,314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
Pour un gaz diatomique dans ces conditions, on utilise :
- \(C_v = \frac{5}{2} R\)
(Cela correspond aux 3 degrés de liberté translationnels et aux 2 degrés de liberté rotationnels, les vibrations n’étant pas activées à température ambiante.)
Questions:
1. Calculer le volume initial \(V_1\) du gaz.
2. Déterminer la température finale \(T_2\) du gaz après la détente adiabatique.
3. Déterminer la pression finale \(P_2\) du gaz.
4. Calculer le travail \(W\) réalisé par le gaz lors de cette détente.
Correction : Détente adiabatique réversible d’un gaz parfait
1. Calcul du volume initial \(V_1\)
Pour un gaz parfait, la loi des gaz parfaits relie la pression, le volume et la température par l’équation \(PV = nRT\).
Formule:
\[ V_1 = \frac{nRT_1}{P_1} \]
Données:
- \(n = 1 \text{ mol}\)
- \(R = 8,314 \text{ J/(mol}\cdot\text{K)}\)
- \(T_1 = 300 \text{ K}\)
- \(P_1 = 1 \text{ bar} = 1 \times 10^5 \text{ Pa}\)
Calcul:
\[ V_1 = \frac{1 \times 8,314 \times 300}{1 \times 10^5} \] \[ V_1 = \frac{2494,2}{10^5} \] \[ V_1 \approx 0,02494 \text{ m}^3 \]
2. Calcul de la température finale \(T_2\)
Pour une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait, la relation suivante est valable:
\[ TV^{\gamma-1} = \text{constante} \]
Ainsi, on a:
\[ T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1} \]
Formule:
\[ T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \]
Données:
- \(T_1 = 300 \text{ K}\)
- \(V_2 = 3V_1\)
- \(\gamma = 1,4 \quad \text{donc} \quad \gamma-1 = 0,4\)
Calcul:
\[ T_2 = 300 \left(\frac{V_1}{3V_1}\right)^{0,4} = 300 \left(\frac{1}{3}\right)^{0,4} \]
Pour évaluer \(\left(\frac{1}{3}\right)^{0,4}\), on écrit:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{0,4} = \exp(-0,4 \ln 3) \]
Or, \(\ln 3 \approx 1,0986\), donc:
\[ -0,4 \times 1,0986 \approx -0,4394 \] \[ \Rightarrow \exp(-0,4394) \approx 0,644 \]
Ainsi:
\[ T_2 \approx 300 \times 0,644 \] \[ T_2 \approx 193,2 \text{ K} \]
3. Calcul de la pression finale \(P_2\)
Pour une transformation adiabatique réversible, la relation reliant la pression et le volume est:
\[ PV^\gamma = \text{constante} \]
Ce qui implique:
\[ P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \]
Formule:
\[ P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma \]
Données:
- \(P_1 = 1 \times 10^5 \text{ Pa}\)
- \(V_2 = 3V_1\)
- \(\gamma = 1,4\)
Calcul:
\[ P_2 = 1 \times 10^5 \left(\frac{1}{3}\right)^{1,4} \] \[ P_2 = 1 \times 10^5 \times 3^{-1,4} \]
Pour calculer \(3^{-1,4}\):
\[ 3^{-1,4} = \exp(-1,4 \ln 3) \]
Avec \(\ln 3 \approx 1,0986\), on obtient:
\[ -1,4 \times 1,0986 \approx -1,538 \] \[ \Rightarrow \exp(-1,538) \approx 0,214 \]
Ainsi:
\[ P_2 \approx 1 \times 10^5 \times 0,214 \] \[ P_2\approx 21400 \text{ Pa} \]
Ce qui correspond à environ \(0,214\) bar.
4. Calcul du travail \(W\) réalisé par le gaz
Dans une transformation adiabatique, il n’y a pas d’échange de chaleur (\(Q = 0\)). D’après le premier principe de la thermodynamique:
\[ \Delta U = Q – W \] \[ \Rightarrow W = -\Delta U \]
Pour un gaz parfait, la variation de l’énergie interne est donnée par:
\[ \Delta U = nC_v (T_2 – T_1) \]
En tenant compte de la convention où le travail fourni par le système lors d’une expansion est positif, on écrit:
\[ W = nC_v (T_1 – T_2) \]
Avec \(C_v = \frac{5}{2} R\).
Formule:
\[ W = nC_v (T_1 – T_2) \] avec \[ C_v = \frac{5}{2} R \]
Données:
- \(n = 1 \text{ mol}\)
- \(R = 8,314 \text{ J/(mol}\cdot\text{K)} \quad \text{donc} \quad C_v = \frac{5}{2} \times 8,314 \approx 20,785 \text{ J/(mol}\cdot\text{K)}\)
- \(T_1 = 300 \text{ K}\)
- \(T_2 \approx 193,2 \text{ K}\)
Calcul:
Calcul de la différence de température:
\[ T_1 – T_2 = 300 – 193,2 = 106,8 \text{ K} \]
Puis, le travail:
\[ W = 1 \times 20,785 \times 106,8 \] \[ W \approx 20,785 \times 106,8 \] \[ W \approx 2219,84 \text{ J} \]
On arrondit à:
\[ W \approx 2220 \text{ J} \]
Détente adiabatique réversible d’un gaz parfait
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