Désintégration du Radon-222
Comprendre la Désintégration du Radon-222
Dans une installation de recherche nucléaire, un échantillon de Radon-222 est utilisé pour étudier les effets des rayonnements sur divers matériaux. Le Radon-222 est un isotope radioactif qui se désintègre principalement par émission alpha, mais il présente aussi des désintégrations bêta et gamma sous formes de sous-produits dans des proportions beaucoup plus faibles. La constante de désintégration du Radon-222 est de \(\lambda = 2.1 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}\).
Données:
- Isotope : Radon-222
- Masse initiale de l’échantillon : \(m_0 = 5 \, \text{mg}\)
- Constante de désintégration : \(\lambda = 2.1 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}\)
- Durée de l’expérience : 30 jours
Questions:
1. Calcul de la Masse Restante:
Calculez la masse de Radon-222 restante après 30 jours d’expérimentation.
2. Calcul du Nombre de Désintégrations Alpha:
On estime que 99% des désintégrations du Radon-222 sont des émissions alpha. Chaque désintégration alpha réduit le nombre de noyaux de l’échantillon. Calculer le nombre total de désintégrations alpha survenant pendant les 30 jours.
3. Calcul des Activités Bêta et Gamma:
Si les 1% restants des désintégrations sont répartis également entre les émissions bêta et gamma, calculez l’activité bêta et gamma du Radon-222 à la fin des 30 jours.
Correction : Désintégration du Radon-222
1. Calcul de la Masse Restante
Le phénomène de désintégration radioactive est régi par la loi exponentielle :
\[ m(t)=m_0 \times e^{-\lambda t} \]
où :
- \( m(t) \) est la masse au temps \( t \),
- \( m_0 \) est la masse initiale,
- \( \lambda \) est la constante de désintégration,
- \( t \) est le temps écoulé.
Données
Les données de l’exercice sont :
- Masse initiale : \( m_0 = 5\,\text{mg} \)
- Constante de désintégration : \( \lambda = 2.1 \times 10^{-6}\,\text{s}^{-1} \)
- Durée de l’expérience : \( t = 30\,\text{jours} \)
Conversion du temps :
\[ 30\,\text{jours} = 30 \times 24 \times 3600\,\text{s} \] \[ = 2\,592\,000\,\text{s} \]
Calcul
1. Calcul de l’argument de l’exponentielle :
\[ \lambda \times t = 2.1 \times 10^{-6}\,\text{s}^{-1} \times 2\,592\,000\,\text{s} \] \[ = \frac{2.1 \times 2\,592\,000}{1\,000\,000} = 5.4432 \]
2. Application de la formule de décroissance :
\[ m(t)= 5\,\text{mg} \times e^{-5.4432} \]
3. Masse restante :
\[ m(t) \approx 5\,\text{mg} \times 0.00433 \] \[ m(t) \approx 0.02165\,\text{mg} \]
2. Calcul du Nombre de Désintégrations Alpha
Pour obtenir le nombre total de désintégrations, on détermine d’abord le nombre initial de noyaux puis le nombre de noyaux qui se sont désintégrés durant la période étudiée. On utilisera la relation :
\[ N_{\text{désint}} = N_0 \times \left(1 – e^{-\lambda t}\right) \]
Le Radon-222 se désintègre selon plusieurs modes. Ici, 99% des désintégrations sont par émission alpha. Ainsi, le nombre de désintégrations alpha est :
\[ N_{\alpha} = 0.99 \times N_{\text{désint}} \]
Données
- Masse initiale : \( m_0 = 5\,\text{mg} = 0.005\,\text{g} \)
- Masse molaire du Radon-222 : \( M \approx 222\,\text{g/mol} \)
- Nombre d’Avogadro : \( N_A = 6.022 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1} \)
- On a déjà calculé \( e^{-\lambda t} \approx 0.00433 \).
Calcul
1. Nombre de moles initiales :
\[ n_0 = \frac{m_0}{M} \] \[ n_0 = \frac{0.005\,\text{g}}{222\,\text{g/mol}} \] \[ n_0 \approx 2.2523 \times 10^{-5}\,\text{mol} \]
2. Nombre initial de noyaux \( N_0 \) :
\[ N_0 = n_0 \times N_A \] \[ N_0 \approx 2.2523 \times 10^{-5}\,\text{mol} \times 6.022 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1} \] \[ N_0 \approx 1.356 \times 10^{19}\,\text{noyaux} \]
3. Nombre total de désintégrations durant 30 jours :
\[ N_{\text{désint}} = N_0 \times \left(1 – e^{-\lambda t}\right) \] \[ N_{\text{désint}} \approx 1.356 \times 10^{19} \times \left(1 – 0.00433\right) \] \[ N_{\text{désint}} \approx 1.356 \times 10^{19} \times 0.99567 \] \[ N_{\text{désint}} \approx 1.35 \times 10^{19}\,\text{désintégrations} \]
4. Nombre de désintégrations alpha (99%) :
\[ N_{\alpha} = 0.99 \times N_{\text{désint}} \] \[ N_{\alpha} \approx 0.99 \times 1.35 \times 10^{19} \] \[ N_{\alpha} \approx 1.3365 \times 10^{19}\,\text{désintégrations alpha} \]
3. Calcul des Activités Bêta et Gamma à la Fin des 30 Jours
L’activité instantanée \( A \) est donnée par la loi :
\[ A(t)=\lambda \times N(t) \]
où \( N(t) \) est le nombre de noyaux restants à l’instant \( t \).
D’après le calcul précédent, le nombre de noyaux restants au bout de 30 jours est :
\[ N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t} \]
Une fois \( A(t) \) obtenu, la branche bêta correspond à 0.5% et la branche gamma également à 0.5% de l’activité totale (puisque 1% en tout est réparti également).
Données
- \( \lambda = 2.1 \times 10^{-6}\,\text{s}^{-1} \)
- \( N_0 \approx 1.356 \times 10^{19}\,\text{noyaux} \)
- \( e^{-\lambda t} \approx 0.00433 \)
Calcul
1. Nombre de noyaux restants au bout de 30 jours :
\[ N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t} \] \[ N(t) \approx 1.356 \times 10^{19} \times 0.00433 \] \[ N(t) \approx 5.87 \times 10^{16}\,\text{noyaux} \]
2. Activité totale à \( t=30\,\text{jours} \) :
\[ A_{\text{total}} = \lambda \times N(t) \] \[ A_{\text{total}} \approx 2.1 \times 10^{-6}\,\text{s}^{-1} \times 5.87 \times 10^{16} \] \[ A_{\text{total}} \approx 1.23 \times 10^{11}\,\text{désintégrations/s} \]
3. Activité bêta et gamma :
Pour chaque canal (bêta ou gamma) : 0.5% de l’activité totale.
\[ A_{\beta} = A_{\gamma} = 0.005 \times A_{\text{total}} \] \[ A_{\beta} = A_{\gamma}\approx 0.005 \times 1.23 \times 10^{11} \] \[ A_{\beta} = A_{\gamma} \approx 6.15 \times 10^{8}\,\text{désintégrations/s} \]
Désintégration du Radon-222
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