Désintégration du Radon-222

Comprendre la Désintégration du Radon-222

Dans une installation de recherche nucléaire, un échantillon de Radon-222 est utilisé pour étudier les effets des rayonnements sur divers matériaux.

Le Radon-222 est un isotope radioactif qui se désintègre principalement par émission alpha, mais il présente aussi des désintégrations bêta et gamma sous formes de sous-produits dans des proportions beaucoup plus faibles.

La constante de désintégration du Radon-222 est de \(\lambda = 2.1 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}\).

Données:

• Isotope : Radon-222
• Masse initiale de l’échantillon : \(m_0 = 5 \, \text{mg}\)
• Constante de désintégration : \(\lambda = 2.1 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}\)
• Durée de l’expérience : 30 jours

Questions:

1. Calcul de la Masse Restante:

Calculez la masse de Radon-222 restante après 30 jours d’expérimentation.

2. Calcul du Nombre de Désintégrations Alpha:

On estime que 99% des désintégrations du Radon-222 sont des émissions alpha. Chaque désintégration alpha réduit le nombre de noyaux de l’échantillon. Calculer le nombre total de désintégrations alpha survenant pendant les 30 jours.

3. Calcul des Activités Bêta et Gamma:

Si les 1% restants des désintégrations sont répartis également entre les émissions bêta et gamma, calculez l’activité bêta et gamma du Radon-222 à la fin des 30 jours.

Correction : Désintégration du Radon-222

1. Calcul de la Masse Restante

Données:

• \(m_0 = 5 \, \text{mg}\)
• \(\lambda = 2.1 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}\)
• \(t = 30 \, \text{jours} = 30 \times 24 \times 3600 \, \text{s} = 2592000 \, \text{s}\)

Formule:

\[ m(t) = m_0 \cdot e^{-\lambda t} \]

Calcul:

\[ m(t) = 5 \cdot e^{-2.1 \times 10^{-6} \times 2592000} \] \[ m(t) = 5 \cdot e^{-5.4432} \] \[ m(t) \approx 5 \cdot 0.004319 = 0.021595 \, \text{mg} \]

La masse restante de Radon-222 après 30 jours est d’environ 0.0216 mg.

2. Calcul du Nombre de Désintégrations Alpha

Formule pour le nombre initial de noyaux \(N_0\):

\[ N = \frac{m \cdot N_A}{M} \]

Données:

• \(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
• \(M = 222 \, \text{g/mol}\)

Calcul du nombre initial de noyaux \(N_0\):

\[ N_0 = \frac{5 \times 10^{-3} \cdot 6.022 \times 10^{23}}{222} \] \[ N_0 \approx 1.357 \times 10^{19} \, \text{noyaux} \]

Calcul du nombre final de noyaux \(N(t)\):

\[ N(t) = \frac{0.0216 \times 10^{-3} \cdot 6.022 \times 10^{23}}{222} \] \[ N(t) \approx 5.855 \times 10^{16} \, \text{noyaux} \]

Calcul du nombre de désintégrations:

\[ \Delta N = N_0 – N(t) \] \[ \Delta N \approx 1.351 \times 10^{19} \, \text{noyaux} \]

Nombre de désintégrations alpha (99% des désintégrations):

\[ \Delta N_{\text{alpha}} = 0.99 \cdot 1.351 \times 10^{19} \] \[ \Delta N_{\text{alpha}} \approx 1.338 \times 10^{19} \, \text{noyaux} \]

Le nombre total de désintégrations alpha survenant pendant les 30 jours est d’environ \(1.338 \times 10^{19}\) noyaux.

3. Calcul des Activités Bêta et Gamma

Calcul de l’activité finale \(A(t)\):

\[ A = \lambda N(t) \] \[ A(t) = 2.1 \times 10^{-6} \times 5.855 \times 10^{16} \] \[ A(t) \approx 122956 \, \text{désintégrations/s} \]

Répartition des activités bêta et gamma (0.5% chacune):

\[ A_{\text{bêta}} = A_{\text{gamma}} = 0.005 \times A(t) \] \[ A_{\text{bêta}} = A_{\text{gamma}} = 0.005 \times 122956 \] \[ A_{\text{bêta}} \approx 615 \, \text{désintégrations/s} \]

À la fin des 30 jours, les activités bêta et gamma du Radon-222 sont chacune d’environ 615 désintégrations par seconde.

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