Désintégration du pion chargé en repos
Comprendre la Désintégration du pion chargé en repos
Un pion chargé \( \pi^+ \), initialement au repos, se désintègre selon la réaction
\[ \pi^+ \to \mu^+ + \nu_\mu, \]
où le muon \( \mu^+ \) et le neutrino \( \nu_\mu \) sont les produits de désintégration. Dans cet exercice, on considère que le neutrino est sans masse ( \( m_{\nu_\mu} = 0 \) ) et que le pion est au repos dans le référentiel considéré.
Données :
- Masse du pion chargé : \( m_{\pi} = 139.57~\text{MeV}/c^2 \).
- Masse du muon : \( m_{\mu} = 105.66~\text{MeV}/c^2 \).
- Le neutrino est considéré comme sans masse.
Questions :
1. Calculer l’énergie totale \( E_\mu \) du muon produit.
2. Déterminer la quantité de mouvement (module \( p_\mu \)) du muon.
3. Calculer l’énergie cinétique \( T_\mu \) du muon.
Correction : Désintégration du pion chargé en repos
1. Calcul de l’énergie totale \(E_\mu\)
Dans une désintégration à deux corps, dans le référentiel du pion (au repos), la conservation de l’énergie conduit à la formule générale suivante pour le produit \(B\) issu de la désintégration \(A \to B + C\) :
\[ E_B = \frac{m_A^2 + m_B^2 – m_C^2}{2\,m_A}\,. \]
Puisque le neutrino est sans masse (\(m_{\nu_\mu}=0\)), la formule se simplifie pour le muon en remplaçant \(A\) par le pion et \(B\) par le muon.
Formule:
\[ E_\mu = \frac{m_{\pi}^2 + m_{\mu}^2}{2\,m_{\pi}}\,. \]
Données:
- \(m_{\pi} = 139.57~\text{MeV}\)
- \(m_{\mu} = 105.66~\text{MeV}\,.\)
Calcul:
- Calcul des carrés des masses :
\[ m_{\pi}^2 = (139.57)^2 \approx 19480.78~\text{MeV}^2\,, \]
\[ m_{\mu}^2 = (105.66)^2 \approx 11167.24~\text{MeV}^2\,. \]
- Somme des carrés :
\[ m_{\pi}^2 + m_{\mu}^2 \approx 19480.78 + 11167.24 = 30648.02~\text{MeV}^2\,. \]
- Calcul du dénominateur :
\[ 2\,m_{\pi} = 2 \times 139.57 = 279.14~\text{MeV}\,. \]
- Substitution dans la formule :
\[ E_\mu = \frac{30648.02}{279.14} \approx 109.76~\text{MeV}\,. \]
Résultat :
L’énergie totale du muon est \(E_\mu \approx 109.76~\text{MeV}\).
2. Calcul de la quantité de mouvement \(p_\mu\)
En relativité, la relation entre l’énergie totale \(E\), la masse \(m\) et la quantité de mouvement \(p\) est donnée par :
\[ E^2 = p^2 + m^2\,. \]
Pour isoler \(p\), on peut écrire :
\[ p = \sqrt{E^2 – m^2}\,. \]
Pour une désintégration à deux corps, une formule directe permet de trouver :
\[ p_\mu = \frac{m_{\pi}^2 – m_{\mu}^2}{2\,m_{\pi}}\,. \]
Données:
- \(m_{\pi}^2 \approx 19480.78~\text{MeV}^2\)
- \(m_{\mu}^2 \approx 11167.24~\text{MeV}^2\)
- \(2\,m_{\pi} = 279.14~\text{MeV}\,.\)
Calcul:
- Différence des carrés :
\[ m_{\pi}^2 – m_{\mu}^2 \approx 19480.78 – 11167.24 = 8313.54~\text{MeV}^2\,. \]
Division par \(2\,m_{\pi}\) :
\[ p_\mu = \frac{8313.54}{279.14} \approx 29.78~\text{MeV}\,. \]
Résultat :
La quantité de mouvement du muon est \(p_\mu \approx 29.78~\text{MeV}\).
3. Calcul de l’énergie cinétique \(T_\mu\)
L’énergie cinétique \(T\) est la différence entre l’énergie totale \(E\) d’une particule et son énergie de repos \(m\) (en unités naturelles où \(c=1\)) :
\[ T_\mu = E_\mu – m_{\mu}\,. \]
Données:
- \(E_\mu \approx 109.76~\text{MeV}\)
- \(m_{\mu} = 105.66~\text{MeV}\,.\)
Calcul:
\[ T_\mu = 109.76 – 105.66 \] \[ T_\mu \approx 4.10~\text{MeV}\,. \]
Résultat :
L’énergie cinétique du muon est \(T_\mu \approx 4.10~\text{MeV}\).
Désintégration du pion chargé en repos
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