Compression Adiabatique d’un Gaz Parfait
Comprendre la Compression Adiabatique d’un Gaz Parfait
Un gaz parfait diatomique (par exemple, de l’azote, \(\gamma = \frac{7}{5}\)) est enfermé dans un cylindre équipé d’un piston. Initialement, le gaz est à une pression de 100 kPa et occupe un volume de 0.5 m\(^3\) à une température de 300 K. Le piston est rapidement compressé, de manière adiabatique, jusqu’à ce que le volume du gaz soit réduit de moitié.
Questions:
1. Quelle est la pression finale du gaz après la compression ?
2. Quelle est la température finale du gaz ?
3. Calculez le travail effectué sur le gaz lors de cette compression.
Correction : Compression Adiabatique d’un Gaz Parfait
1. Calcul de la pression finale \(P_2\)
Dans une transformation adiabatique, la pression et le volume suivent la relation \(P V^\gamma = \text{constante}\), où \(\gamma\) est le coefficient de Laplace pour le gaz. Pour un gaz parfait diatomique, \(\gamma = \frac{7}{5}\).
Formule :
\[ P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \]
Données :
- \(P_1 = 100 \text{ kPa}\)
- \(V_1 = 0.5 \text{ m}^3\)
- \(V_2 = 0.25 \text{ m}^3\)
- \(\gamma = \frac{7}{5}\)
Calcul :
\[ 100 \times (0.5)^{\frac{7}{5}} = P_2 \times (0.25)^{\frac{7}{5}} \] \[ P_2 = 100 \times \left(\frac{0.5}{0.25}\right)^{\frac{7}{5}} = 100 \times 2^{\frac{7}{5}} \] \[ P_2 = 100 \times 2^{1.4} \approx 100 \times 2.639 \] \[ P_2 = 263.9 \text{ kPa} \]
La pression finale du gaz après la compression est d’environ \(263.9 \text{ kPa}\).
2. Calcul de la température finale \(T_2\)
Pour une transformation adiabatique, la température et le volume sont liés par \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\).
Formule :
\[ T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1} \]
Données :
- \(T_1 = 300 \text{ K}\)
- \(V_1 = 0.5 \text{ m}^3\)
- \(V_2 = 0.25 \text{ m}^3\)
- \(\gamma = \frac{7}{5}\)
Calcul :
\[ 300 \times (0.5)^{\frac{2}{5}} = T_2 \times (0.25)^{\frac{2}{5}} \] \[ T_2 = 300 \times \left(\frac{0.5}{0.25}\right)^{\frac{2}{5}} = 300 \times 2^{\frac{2}{5}} \] \[ T_2 = 300 \times 2^{0.4} \] \[ T_2 \approx 300 \times 1.319 \] \[ T_2 = 395.7 \text{ K} \]
La température finale du gaz après la compression est d’environ \(395.7 \text{ K}\).
3. Calcul du travail effectué \(W\)
Le travail effectué sur le gaz pendant une transformation adiabatique peut être calculé en utilisant la différence des produits de pression et volume, divisée par \(\gamma – 1\).
Formule :
\[ W = \frac{P_1 V_1 – P_2 V_2}{\gamma – 1} \]
Données :
- \(P_1 = 100 \text{ kPa}\)
- \(V_1 = 0.5 \text{ m}^3\)
- \(P_2 = 263.9 \text{ kPa}\)
- \(V_2 = 0.25 \text{ m}^3\)
- \(\gamma = \frac{7}{5}\)
Calcul :
\[ W = \frac{100 \times 0.5 – 263.9 \times 0.25}{\frac{2}{5}} \] \[ W = \frac{50 – 65.975}{0.4} = \frac{-15.975}{0.4} \] \[ W = -39.9375 \text{ kJ} \]
Note : Le travail est négatif, indiquant que le travail est effectué sur le gaz.
Le travail effectué sur le gaz lors de cette compression est de \(-39.9375 \text{ kJ}\).
Compression Adiabatique d’un Gaz Parfait
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