Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide

1. Principe et Relation Physique

Le phénomène étudié repose sur la propriété thermomécanique des superfluides. Le coefficient de transfert thermique massique $K$, exprimé en J/g/K, indique l’énergie transportée par gramme de fluide pour chaque degré de différence de température. Lorsque le superfluide traverse l’orifice, l’énergie thermique $Q$ (en J/s) est directement liée au débit massique $\dot{m}$ par la relation suivante :

Formule :

$$Q=\dot{m}\times K\times \mathrm{\Delta }T$$

où
- $Q$ est le flux de chaleur (J/s),
- $\dot{m}$ est le débit massique (g/s),
- $K$ est le coefficient de transfert thermique massique (J/(g·K)),
- $\mathrm{\Delta }T=T_1-T_2$ est la différence de température (K).

2. Données de l'Exercice

Les données fournies sont :

• Température côté chaud : $T_1=2.10\text{K}$.
• Température côté froid : $T_2=2.00\text{K}$.
• Surface de l’orifice : $S=0.1{\text{mm}}^2$. Notons que la surface intervient dans le calcul de $Q$ lorsqu’on part d’un flux surfacique, mais ici $Q$ est déjà donné en valeur totale.
• Coefficient de transfert thermique massique : $K=0.12\text{J/(g·K)}$.
• Flux de chaleur traversant l’orifice : $Q=0.01\text{J/s}$.

Calculons d’abord la différence de température :

$$\mathrm{\Delta }T=T_1-T_2$$ $$\mathrm{\Delta }T=2.10\text{K}-2.00\text{K}$$ $$\mathrm{\Delta }T=0.10\text{K}$$

3. Calcul du Débit Massique $\dot{m}$

Calcul de la quantité de superfluide :

À partir de la relation :

$$Q=\dot{m}\times K\times \mathrm{\Delta }T$$

nous exprimons le débit massique $\dot{m}$ :

$$\dot{m}=\frac{Q}{K\times \mathrm{\Delta }T}$$

Substitution des valeurs numériques :

$$\dot{m}=\frac{0.01\text{J/s}}{0.12\text{J/(g·K)}\times 0.10\text{K}}$$

Calcul détaillé :

1. Calcul du dénominateur :

   $$K\times \mathrm{\Delta }T=0.12\times 0.10=0.012\text{J/g}$$

2. Division :

   $$\dot{m}=\frac{0.01}{0.012}\text{g/s}\approx 0.8333\text{g/s}$$

4. Conclusion

Résultat Final :
La quantité de superfluide hélium-4 qui passe à travers l’orifice, exprimée en débit massique, est :

$$\dot{m}\approx 0.83\text{g/s}$$

Cette valeur signifie qu’environ 0.83 grammes de superfluide traversent l’orifice chaque seconde sous l’effet de la différence de température de 0.10 K et avec le coefficient donné.

Remarques Complémentaires

• Surface de l’orifice : Bien que la surface $S$ soit donnée (0.1 mm²), la relation utilisée ici prend en compte le flux de chaleur total $Q$. Dans une approche alternative, si le flux surfacique $q$ avait été donné, on aurait écrit $Q=q\times S$. Ici, $Q$ est directement fourni.
• Interprétation Physique : Le résultat obtenu illustre l’efficacité du transfert d’énergie dans le superfluide sous de faibles différences de température, caractéristique de la phase superfluide où l’écoulement se fait sans viscosité.