Calcul des Lignes de Champ Électrique
Comprendre le Calcul des Lignes de Champ Électrique
Considérons une configuration de charges électriques comprenant deux charges ponctuelles, \(Q_1\) et \(Q_2\), situées dans le vide.
La charge \(Q_1\) a une valeur de \(+5\, \mu C\) (microcoulombs) et est placée à l’origine du système de coordonnées cartésiennes.
La charge \(Q_2\) a une valeur de \(-5\, \mu C\) et est située à \(10\, \text{cm}\) de \(Q_1\) sur l’axe des x.
Objectif :
Calculer les lignes de champ électrique en plusieurs points autour des charges et déterminer les points où le champ électrique est nul, en supposant que l’espace est non conducteur et que les charges sont fixes.
Questions:
1. Calcul du Champ Électrique dû à Chaque Charge:
Utilisez la loi de Coulomb pour calculer le champ électrique (\(\vec{E}\)) créé par chaque charge en un point \(P\) situé à une distance \(r_1\) de \(Q_1\) et \(r_2\) de \(Q_2\).
2. Superposition des Champs Électriques:
En un point \(P\), le champ électrique total est la somme vectorielle des champs électriques produits par \(Q_1\) et \(Q_2\). Calculez cette somme pour les points suivants :
- \(P_1\) à \(5 \, \text{cm}\) de \(Q_1\) sur l’axe \(x\),
- \(P_2\) à \(5 \, \text{cm}\) de \(Q_2\) sur l’axe \(x\),
- \(P_3\) sur l’axe \(y\) à \(8 \, \text{cm}\) verticalement au-dessus de l’origine.
3. Détermination des Points où le Champ Électrique est Nul:
Trouvez les conditions sous lesquelles le champ électrique résultant est nul entre \(Q_1\) et \(Q_2\). Cela implique de résoudre l’équation suivante :
\[ \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0 \]
Note : Déterminez la position exacte où le champ total devient nul et expliquez la méthode utilisée pour résoudre cette équation.
Correction : Calcul des Lignes de Champ Électrique
1. Calcul du Champ Électrique dû à Chaque Charge
Calcul du champ électrique dû à \(Q_1\) au point \(P_1\):
Le champ électrique généré par une charge ponctuelle est calculé en utilisant la loi de Coulomb. Ce champ est radial, s’éloignant de la charge si elle est positive.
Formule :
\[ \vec{E} = k \frac{Q}{r^2} \hat{r} \]
Données :
- \(Q_1 = +5 \, \mu C = +5 \times 10^{-6} \, C\)
- Distance \(r_1 = 5 \, cm = 0.05 \, m\)
- \(k = 8.99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2\)
Calcul :
\[ \vec{E}_1 = 8.99 \times 10^9 \frac{5 \times 10^{-6}}{(0.05)^2} \hat{x} \] \[ \vec{E}_1 = 1.798 \times 10^7 \, N/C \, \hat{x} \]
2. Calcul du champ électrique dû à \(Q_2\) au point \(P_1\)
Similaire à \(Q_1\), mais la charge est négative, donc le champ pointe vers \(Q_2\).
Formule :
Identique à la précédente.
Données :
- \(Q_2 = -5 \, \mu C = -5 \times 10^{-6} \, C\)
- Distance \(r_2 = 15 \, cm = 0.15 \, m\) (de \(P_1\) à \(Q_2\))
Calcul :
\[ \vec{E}_2 = 8.99 \times 10^9 \frac{-5 \times 10^{-6}}{(0.15)^2} \hat{x} \] \[ \vec{E}_2 = -1.998 \times 10^6 \, N/C \, \hat{x} \]
3. Superposition des champs électriques au point \(P_1\)
Le champ électrique total en un point est la somme vectorielle des champs produits par chaque charge.
Formule :
\[ \vec{E}_{\text{total}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 \]
Calcul :
\[ \vec{E}_{\text{total}} = (1.798 \times 10^7 \, \hat{x}) + (-1.998 \times 10^6 \, \hat{x}) \] \[ \vec{E}_{\text{total}} = 1.5982 \times 10^7 \, N/C \, \hat{x} \]
3. Détermination des Points où le Champ Électrique est Nul
Pour que le champ électrique total soit nul, les champs dus à \(Q_1\) et \(Q_2\) doivent être opposés en direction et égaux en magnitude.
Formule :
\[ k \frac{Q_1}{r^2} = k \frac{-Q_2}{(d – r)^2} \]
Données :
- \(d = 10 \, cm = 0.1 \, m\) (distance entre les charges)
Résolution pour \(r\) (distance du point neutre à \(Q_1\)) :
\[ \frac{5 \times 10^{-6}}{r^2} = \frac{5 \times 10^{-6}}{(0.1 – r)^2} \]
En résolvant cette équation :
\[ r^2 = (0.1 – r)^2 \] \[ r = 0.1 – r \] \[ 2r = 0.1 \] \[ r = 0.05 \, m \]
Conclusion :
Le champ électrique est nul exactement à 5 cm de \(Q_1\), sur le segment entre les deux charges. Cela indique une erreur dans l’interprétation précédente ou des valeurs initiales; en réalité, ce résultat n’est pas possible avec des charges opposées. Le champ serait nul à l’extérieur du segment entre les charges, du côté de la charge négative.
Calcul des Lignes de Champ Électrique
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