Calcul des Lignes de Champ Électrique

Calcul des Lignes de Champ Électrique

Comprendre le Calcul des Lignes de Champ Électrique

Considérons une configuration de charges électriques comprenant deux charges ponctuelles, \(Q_1\) et \(Q_2\), situées dans le vide. La charge \(Q_1\) a une valeur de \(+5\, \mu C\) (microcoulombs) et est placée à l’origine du système de coordonnées cartésiennes. La charge \(Q_2\) a une valeur de \(-5\, \mu C\) et est située à \(10\, \text{cm}\) de \(Q_1\) sur l’axe des x.

Objectif :

Calculer les lignes de champ électrique en plusieurs points autour des charges et déterminer les points où le champ électrique est nul, en supposant que l’espace est non conducteur et que les charges sont fixes.

Questions:

1. Calcul du Champ Électrique dû à Chaque Charge:

Utilisez la loi de Coulomb pour calculer le champ électrique (\(\vec{E}\)) créé par chaque charge en un point \(P\) situé à une distance \(r_1\) de \(Q_1\) et \(r_2\) de \(Q_2\).

2. Superposition des Champs Électriques:

En un point \(P\), le champ électrique total est la somme vectorielle des champs électriques produits par \(Q_1\) et \(Q_2\). Calculez cette somme pour les points suivants :

• \(P_1\) à \(5 \, \text{cm}\) de \(Q_1\) sur l’axe \(x\),
• \(P_2\) à \(5 \, \text{cm}\) de \(Q_2\) sur l’axe \(x\),
• \(P_3\) sur l’axe \(y\) à \(8 \, \text{cm}\) verticalement au-dessus de l’origine.

3. Détermination des Points où le Champ Électrique est Nul:

Trouvez les conditions sous lesquelles le champ électrique résultant est nul entre \(Q_1\) et \(Q_2\). Cela implique de résoudre l’équation suivante :

\[ \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0 \]

Note : Déterminez la position exacte où le champ total devient nul et expliquez la méthode utilisée pour résoudre cette équation.

Correction : Calcul des Lignes de Champ Électrique

1. Calcul du Champ Électrique Dû à Chaque Charge

Principe utilisé : Loi de Coulomb pour le champ électrique

La formule du champ électrique créé par une charge ponctuelle \( Q \) à une distance \( r \) est :

\[ E = k \, \frac{|Q|}{r^2} \]

avec :

• \( k = 8{,}99 \times 10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2} \)
• \( Q \) en coulombs (C) et \( r \) en mètres (m).

Données de l’exercice :

• \( Q_1 = +5\ \mu\mathrm{C} = +5 \times 10^{-6}\ \mathrm{C} \) (placée à l’origine \( O(0,0) \))
• \( Q_2 = -5\ \mu\mathrm{C} = -5 \times 10^{-6}\ \mathrm{C} \) (placée sur l’axe \( x \) à 10 cm, soit \( (0,10\,\mathrm{cm}) \) en notation décimale \( (0.10,0) \) en m)

Remarque sur les directions :

• Pour une charge positive (Q₁) : le champ électrique est rayonant vers l’extérieur (du point de charge vers l’extérieur).
• Pour une charge négative (Q₂) : le champ électrique est dirigé vers la charge.

2. Superposition des Champs Électriques en Divers Points

Le principe de superposition signifie que le champ total en un point est la somme vectorielle des champs créés par chacune des charges.

Point \( P_1 \) sur l’axe \( x \) à 5 cm de \( Q_1 \)

Position de \( P_1 \) :
\( P_1(5\,\mathrm{cm},\,0) \) soit \( (0.05,\,0) \) en m.

Distances :

• Distance à \( Q_1 \) : \( r_1 = 0.05\ \mathrm{m} \)
• Distance à \( Q_2 \) : \( r_2 = 0.10\ \mathrm{m} – 0.05\ \mathrm{m} = 0.05\ \mathrm{m} \)

Calcul du champ dû à \( Q_1 \) :

\[ E_{Q_1} = k\,\frac{5 \times 10^{-6}}{(0.05)^2} \] \[ E_{Q_1} = 8{,}99 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-3} \] \[ E_{Q_1} = 1{,}798 \times 10^7\ \mathrm{N/C} \]

Direction :
Pour \( Q_1 \) (positive), le champ est dirigé de \( Q_1 \) vers \( P_1 \) \(\rightarrow\) \textbf{vers \( +x \)}.

Calcul du champ dû à \( Q_2 \) :
Même formule et distance (car \( r_2 = 0.05\ \mathrm{m} \)) :

\[ E_{Q_2} = 8{,}99 \times 10^9\,\frac{5 \times 10^{-6}}{(0.05)^2} \] \[ E_{Q_2} = 1{,}798 \times 10^7\ \mathrm{N/C} \]

Direction :
Pour \( Q_2 \) (négative), le champ pointe \textbf{vers \( Q_2 \)}.
Au point \( P_1 \) situé entre \( Q_1 \) (à l’origine) et \( Q_2 \) (à \( x=0.10\,\mathrm{m} \)), la direction de \( \vec{E}_{Q_2} \) est également vers \( +x \) (car \( P_1 \) est plus proche de \( Q_1 \) et le vecteur pointant de \( P_1 \) vers \( Q_2 \) est dirigé vers la droite).

Superposition :

\[ \vec{E}_{P_1} = \vec{E}_{Q_1} + \vec{E}_{Q_2} \] \[ \vec{E}_{P_1} = 1{,}798 \times 10^7\,+\,1{,}798 \times 10^7 \] \[ \vec{E}_{P_1} = 3{,}596 \times 10^7\ \mathrm{N/C} \]

Direction totale : \( +x \).

Point \( P_2 \) sur l’axe \( x \) à 5 cm de \( Q_2 \)

Nous choisissons \( P_2 \) de l’autre côté de \( Q_2 \) (pour éviter de reprendre \( P_1 \)).

Position de \( P_2 \) :
\( P_2(15\,\mathrm{cm},\,0) \) soit \( (0.15,\,0) \) en m.

Distances :

• Distance à \( Q_2 \) : \( r_2 = 0.15\ \mathrm{m} – 0.10\ \mathrm{m} = 0.05\ \mathrm{m} \)
• Distance à \( Q_1 \) : \( r_1 = 0.15\ \mathrm{m} \)

Champ dû à \( Q_2 \) :

\[ E_{Q_2} = 8{,}99 \times 10^9\,\frac{5 \times 10^{-6}}{(0.05)^2} \] \[ E_{Q_2} = 1{,}798 \times 10^7\ \mathrm{N/C} \]

Direction :
Pour \( Q_2 \) (négative), le champ est dirigé vers \( Q_2 \).
Ici, \( Q_2 \) se trouve en \( (0.10,0) \) et \( P_2 \) est à \( (0.15,0) \) \(\rightarrow\) le vecteur de \( P_2 \) vers \( Q_2 \) pointe vers la gauche (direction \( -x \)).

Champ dû à \( Q_1 \) :

\[ E_{Q_1} = 8{,}99 \times 10^9\,\frac{5 \times 10^{-6}}{(0.15)^2} \] \[ E_{Q_1} = 8{,}99 \times 10^9 \times 2{,}222 \times 10^{-4} \] \[ E_{Q_1} \approx 1{,}998 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \]

Direction :
Pour \( Q_1 \) (positive), le champ est dirigé de \( Q_1(0,0) \) vers \( P_2(0.15,0) \) \(\rightarrow\) vers \( +x \).

Superposition vectorielle :
Notons les contributions selon \( x \) :

• \( \vec{E}_{Q_1} \) : \( +1{,}998 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \) (vers \( +x \))
• \( \vec{E}_{Q_2} \) : \( +1{,}798 \times 10^7\ \mathrm{N/C} \) en module mais orienté vers \( -x \)

La somme (en tenant compte du signe) :

\[ E_{x} = 1{,}998 \times 10^6 – 1{,}798 \times 10^7 \] \[ E_{x} = -1{,}598 \times 10^7\ \mathrm{N/C} \]

Interprétation :
La valeur négative indique que le champ total est dirigé vers la gauche (direction \( -x \)) avec une magnitude d’environ \( 1{,}60 \times 10^7\ \mathrm{N/C} \).

Point \( P_3 \) sur l’axe \( y \) à 8 cm au-dessus de l’origine

Position de \( P_3 \) :
\( P_3(0,8\,\mathrm{cm}) \) soit \( (0,\,0.08) \) en m.

Distances :

• Pour \( Q_1(0,0) \) : \( r_1 = 0.08\ \mathrm{m} \)
• Pour \( Q_2(0.10,0) \) :

\[ r_2 = \sqrt{(0.10 – 0)^2 + (0 – 0.08)^2}
\] \[ r_2 = \sqrt{(0.10)^2 + (0.08)^2}
\] \[ r_2 = \sqrt{0.0100 + 0.0064}
\] \[ r_2 = \sqrt{0.0164} \] \[ r_2 \approx 0.1281\ \mathrm{m} \]

Champ dû à \( Q_1 \) :

\[ E_{Q_1} = 8{,}99 \times 10^9\,\frac{5 \times 10^{-6}}{(0.08)^2} \] \[ E_{Q_1} = 8{,}99 \times 10^9 \times 7{,}8125 \times 10^{-4} \] \[ E_{Q_1} \approx 7{,}03 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \]

Direction :
Pour \( Q_1 \), le vecteur allant de \( (0,0) \) à \( (0,0.08) \) est vertical (direction \( +y \)).

Champ dû à \( Q_2 \) :

\[ E_{Q_2} = 8{,}99 \times 10^9\,\frac{5 \times 10^{-6}}{(0.1281)^2} \] \[ E_{Q_2} = 8{,}99 \times 10^9 \times 3{,}0488 \times 10^{-4} \] \[ E_{Q_2} \approx 2{,}74 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \]

Direction de \( \vec{E}_{Q_2} \) :
Pour \( Q_2 \) (négative), le champ pointe vers \( Q_2 \).

• La position de \( Q_2 \) est \( (0.10,0) \).
• Le vecteur allant de \( P_3(0,0.08) \) vers \( Q_2(0.10,0) \) est :

\[ \vec{r} = (0.10 – 0,\; 0 – 0.08) \] \[ \vec{r} = (0.10,\,-0.08) \]

• La norme de ce vecteur est \( r_2 \approx 0.1281\ \mathrm{m} \).
• L’unité vectorielle est :

\[ \hat{u} = \left(\frac{0.10}{0.1281},\,\frac{-0.08}{0.1281}\right)
\] \[ \hat{u} \approx (0.781,\, -0.624) \]

Ainsi, en décomposant \( \vec{E}_{Q_2} \) :

• Composante \( x \) :

\[ E_{Q_2,x} \approx 2{,}74 \times 10^6 \times 0.781 \] \[ E_{Q_2,x} \approx 2{,}14 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \]

• Composante \( y \) :

\[ E_{Q_2,y} \approx 2{,}74 \times 10^6 \times (-0.624) \] \[ E_{Q_2,y} \approx -1{,}71 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \]

Superposition vectorielle en \( P_3 \) :

Composante \( x \) :

• \( \vec{E}_{Q_1} \) est purement vertical, donc \( E_{Q_1,x} = 0 \).
• \( E_{Q_2,x} \approx +2{,}14 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \).

\[ E_{tot,x} = 0 + 2{,}14 \times 10^6 \] \[ E_{tot,x} = 2{,}14 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \]

Composante \( y \) :

• \( E_{Q_1,y} \approx +7{,}03 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \).
• \( E_{Q_2,y} \approx -1{,}71 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \).

\[ E_{tot,y} = 7{,}03 \times 10^6 – 1{,}71 \times 10^6 \] \[ E_{tot,y} = 5{,}32 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \]

Calcul de la magnitude du champ total en \( P_3 \) :

\[ E_{tot} = \sqrt{(E_{tot,x})^2 + (E_{tot,y})^2}
\] \[ E_{tot} = \sqrt{(2{,}14 \times 10^6)^2 + (5{,}32 \times 10^6)^2} \] \[ E_{tot} \approx \sqrt{32{,}88 \times 10^{12}} \] \[ E_{tot} \approx 5{,}73 \times 10^6\ \mathrm{N/C} \]

Angle par rapport à \( x \) :

\[ \theta = \arctan\left(\frac{E_{tot,y}}{E_{tot,x}}\right)
\] \[ \theta = \arctan\left(\frac{5{,}32 \times 10^6}{2{,}14 \times 10^6}\right)
\] \[ \theta \approx \arctan(2{,}48) \] \[ \theta \approx 68{,}9^\circ \]

Ce qui signifie que le champ total est dirigé à environ \( 68{,}9^\circ \) au-dessus de l’axe \( x \) positif.

3. Détermination des Points Où le Champ Électrique Est Nul

Analyse qualitative :

Nous cherchons un point \( P \) sur l’axe (entre ou à l’extérieur de \( Q_1 \) et \( Q_2 \)) tel que :

\[ \vec{E}_{Q_1} + \vec{E}_{Q_2} = \vec{0} \]

Cas sur la droite joignant \( Q_1 \) et \( Q_2 \) :

Entre \( Q_1 \) et \( Q_2 \) (pour \( 0 < x < 0.10\,\mathrm{m} \)) :

• Le champ de \( Q_1 \) (positive) est dirigé vers la droite (du point de charge vers \( P \)).
• Le champ de \( Q_2 \) (négative) est dirigé vers \( Q_2 \), c’est-à-dire également vers la droite lorsque \( P \) est situé entre les deux charges.
• Conclusion : Les deux champs sont colinéaires et de même sens, leur somme ne peut donc pas être nulle.

Pour \( x < 0 \) (à gauche de \( Q_1 \)) :

• \( Q_1 \) produit un champ dirigé vers la gauche (car il est positif, et le champ sort de \( Q_1 \) vers l’extérieur).
• \( Q_2 \) produit un champ dirigé vers \( Q_2 \) (donc vers la droite) car \( P \) est éloigné de \( Q_2 \).
• Pour annulation, il faudrait :

\[ k\,\frac{5 \times 10^{-6}}{x^2} = k\,\frac{5 \times 10^{-6}}{(0.10 – x)^2} \]

Après simplification, on obtient :

\[ x^2 = (0.10 – x)^2 \]

Ce qui conduit à \( |x| = |0.10 – x| \). Pour \( x < 0 \), cela devient :

\[ -x = 0.10 – x \quad \Longrightarrow \quad 0.10 = 0, \]

ce qui est impossible.

Pour \( x > 0.10\,\mathrm{m} \) (à droite de \( Q_2 \)) :

• \( Q_1 \) produit un champ dirigé vers la droite (de \( Q_1 \) à \( P \)).
• \( Q_2 \) produit un champ dirigé vers \( Q_2 \) (donc vers la gauche pour \( P \) situé à droite de \( Q_2 \)).
• On poserait alors :

\[ \frac{5 \times 10^{-6}}{x^2} = \frac{5 \times 10^{-6}}{(x – 0.10)^2} \]

Ce qui conduit de la même façon à :

\[ x^2 = (x – 0.10)^2 \quad \Longrightarrow \quad |x| = |x – 0.10| \]

Pour \( x > 0.10 \), ceci devient \( x = x – 0.10 \) et donc \( 0.10 = 0 \), ce qui est absurde.

Conclusion pour le cas étudié :

Il n’existe aucun point sur l’axe joignant \( Q_1 \) et \( Q_2 \) (et en particulier entre ces deux charges) où le champ électrique total s’annule.
Cette situation est typique d’un dipôle : entre une charge positive et une charge négative, les vecteurs champs se rejoignent (ils pointent du positif vers le négatif), de sorte que leur somme ne peut pas être nulle.

Calcul des Lignes de Champ Électrique

D’autres exercices d’électromagnétisme:

• Contrôle de la Tension pour un Moteur DC
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• Application de la Loi de Coulomb