Calcul de l’Expansion Exponentielle
Comprendre le Calcul de l’Expansion Exponentielle
La théorie du Big Bang est le modèle cosmologique dominant qui explique les origines de l’univers. Selon cette théorie, l’univers a commencé à partir d’un état extrêmement chaud et dense et a commencé à se dilater. Une phase très importante de cette théorie est l’inflation, une période de croissance exponentielle qui s’est produite une fraction de seconde après le Big Bang. Cette phase a résolu plusieurs problèmes importants de la cosmologie du Big Bang, comme le problème de l’horizon et le problème de la platitude.
Données:
- Temps estimé au début de l’inflation: \( t_i = 10^{-36} \) secondes après le Big Bang.
- Temps estimé à la fin de l’inflation: \( t_f = 10^{-33} \) secondes après le Big Bang.
- Facteur d’échelle au début de l’inflation: \( a_i = 10^{-30} \).
- Facteur d’échelle à la fin de l’inflation: \( a_f = 10^{-27} \).
Question:
Estimez le taux d’expansion de l’univers, appelé le facteur d’échelle par unité de temps, pendant la période d’inflation. Utilisez l’hypothèse que l’expansion durant l’inflation est exponentielle, où le facteur d’échelle \( a(t) \) suit l’équation \( a(t) = a_i e^{H(t-t_i)} \), avec \( H \) constant durant l’inflation.
Correction : Calcul de l’Expansion Exponentielle
Calcul de la constante de Hubble durant l’inflation
Le taux d’expansion ou la constante de Hubble durant l’inflation, \( H \), peut être calculé en utilisant la formule du facteur d’échelle exponentiel:
\[ a(t) = a_i e^{H(t – t_i)} \]
où \( a(t) \) est le facteur d’échelle à un temps \( t \), \( a_i \) est le facteur d’échelle au début de l’inflation, et \( t_i \) est le temps au début de l’inflation.
Formule à utiliser :
\[ H = \frac{\ln\left(\frac{a_f}{a_i}\right)}{t_f – t_i} \]
Cette formule découle de la loi de l’expansion exponentielle, où \( \ln \) représente le logarithme naturel.
Données fournies :
- \( a_i = 10^{-30} \) (facteur d’échelle au début de l’inflation)
- \( a_f = 10^{-27} \) (facteur d’échelle à la fin de l’inflation)
- \( t_i = 10^{-36} \) secondes (temps au début de l’inflation)
- \( t_f = 10^{-33} \) secondes (temps à la fin de l’inflation)
Calcul :
- Calcul du numérateur \( \ln\left(\frac{a_f}{a_i}\right) \):
\[ = \ln\left(\frac{10^{-27}}{10^{-30}}\right) \] \[ = \ln\left(10^3\right) \] \[ = 3\ln(10) \approx 6.907 \]
(Utilisation de la valeur exacte de \( \ln(10) \approx 2.3026 \))
- Calcul du dénominateur \( t_f – t_i \):
\[ 10^{-33} – 10^{-36} = (1 – 10^{-3}) \times 10^{-33} = 0.999 \times 10^{-33} \, \text{s} \]
- Calcul de \( H \):
\[ H = \frac{6.907}{0.999 \times 10^{-33}} \] \[ H \approx 6.914 \times 10^{33} \, \text{s}^{-1} \]
Résultat et Implications
Résultat : La constante de Hubble \( H \) pendant la période d’inflation est approximativement \( 6.914 \times 10^{33} \, \text{s}^{-1} \).
Implications : Ce taux d’expansion extrêmement élevé illustre la rapidité de l’expansion de l’univers durant l’inflation, expliquant comment des régions éloignées de l’univers ont pu être en contact causal avant de s’éloigner les unes des autres. Cette expansion a aidé à résoudre le problème de l’horizon et le problème de la platitude, en s’assurant que l’univers observable apparaisse homogène et isotrope.
Calcul de l’Expansion Exponentielle
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