Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule
Comprendre le Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule
Une particule de masse au repos \( m_0 \) est accélérée dans un accélérateur de particules et atteint une vitesse \( v \) proche de celle de la lumière. Dans ce problème, nous étudierons la relation entre l’énergie totale \( E \) de la particule et sa vitesse, en comparant à l’énergie classique.
Les données sont :
- Masse au repos de la particule : \( m_0 = 1,67\,10^{-27} \) kg (correspond approximativement à la masse d’un proton).
- Vitesse de la particule : \( v = 0,95\,c \).
Remarque : Dans la relativité restreinte, l’énergie totale d’une particule est donnée par :
\[ E = \gamma\, m_0\, c^2 \]
et l’énergie cinétique relativiste par :
\[ E_c = (\gamma – 1)\, m_0\, c^2. \]
La formule classique \( E_c = \frac{1}{2} m_0 v^2 \) n’est plus valable pour des vitesses proches de \( c \).
Questions
1. Calcul du Facteur de Lorentz et de l’Énergie Totale :
a. Calculer le facteur de Lorentz \( \gamma \) pour \( v = 0,95\,c \).\\
b. Déterminer l’énergie totale \( E \) de la particule en joules.
2. Calcul de l’Énergie Cinétique Relativiste :
a. Calculer l’énergie cinétique relativiste \( E_c \).
b. Comparer cette énergie avec l’énergie cinétique classique \( E_c^{classique} = \frac{1}{2} m_0 v^2 \) et commenter la différence.
Correction : Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule
1. Calcul du Facteur de Lorentz et de l’Énergie Totale
a. Calcul du Facteur de Lorentz \(\gamma\)
Le facteur de Lorentz mesure l’intensité des effets relativistes (dilatation du temps, augmentation de l’énergie, etc.) à des vitesses proches de celle de la lumière.
Formule :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \beta^2}} \quad \text{où} \quad \beta = \frac{v}{c} \]
Données :
- \( v = 0,95\,c \)
- \( \beta = \frac{0,95\,c}{c} = 0,95 \)
Calcul :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – (0,95)^2}} \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – 0,9025}} \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{0,0975}} \] \[ \gamma \approx \frac{1}{0,3122} \] \[ \gamma \approx 3,2026 \]
b. Calcul de l’Énergie Totale \(E\)
L’énergie totale intègre l’énergie de repos et l’énergie due au mouvement. En relativité, elle est donnée par la formule \( E = \gamma\,m_0\,c^2 \).
Formule :
\[ E = \gamma\, m_0\, c^2 \]
Données :
- \( \gamma \approx 3,2026 \)
- \( m_0 = 1,67 \times 10^{-27} \) kg
- \( c = 3 \times 10^8 \) m/s
\( c^2 = (3 \times 10^8)^2 = 9 \times 10^{16} \) m\(^2\)/s\(^2\)
Calcul :
1. Calcul de \( m_0\, c^2 \) :
\[ m_0\, c^2 = 1,67 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \] \[ = 1,503 \times 10^{-10}\, \text{J} \]
2. Multiplier par \(\gamma\) :
\[ E = 3,2026 \times 1,503 \times 10^{-10} \] \[ E \approx 4,81 \times 10^{-10}\, \text{J} \]
2. Calcul de l’Énergie Cinétique Relativiste
a. Calcul de l’Énergie Cinétique Relativiste \(E_c\)
L’énergie cinétique relativiste représente la partie de l’énergie totale qui est due au mouvement, en excédant l’énergie de repos. Elle se calcule par \( E_c = (\gamma – 1) m_0\, c^2 \).
Formule :
\[ E_c = (\gamma – 1)\, m_0\, c^2 \]
Données :
- \( \gamma \approx 3,2026 \) donc \( \gamma – 1 \approx 2,2026 \)
- \( m_0\, c^2 = 1,503 \times 10^{-10}\, \text{J} \)
Calcul :
\[ E_c = 2,2026 \times 1,503 \times 10^{-10} \] \[ E_c \approx 3,31 \times 10^{-10}\, \text{J} \]
b. Calcul de l’Énergie Cinétique Classique \(E_c^{classique}\) et Comparaison
Calcul de L’énergie cinétique classique \(E_c^{classique}\)
Pour des vitesses bien inférieures à \( c \), l’énergie cinétique est donnée par \( E_c^{classique} = \frac{1}{2} m_0 v^2 \). Pour des vitesses relativistes, cette formule sous-estime considérablement l’énergie.
Formule :
\[ E_c^{classique} = \frac{1}{2} m_0 v^2 \]
Données :
- \( v = 0,95\,c \)
- \( v^2 = (0,95\,c)^2 = 0,9025\, c^2 = 0,9025 \times 9 \times 10^{16} \) \( v^2 = 8,1225 \times 10^{16} \) m\(^2\)/s\(^2\)
- \( m_0 = 1,67 \times 10^{-27} \) kg
Calcul :
\[ E_c^{classique} = \frac{1}{2} \times 1,67 \times 10^{-27} \times 8,1225 \times 10^{16} \] \[ E_c^{classique} = 0,5 \times 1,67 \times 8,1225 \times 10^{-11} \] \[ E_c^{classique} \approx 6,784 \times 10^{-11}\, \text{J} \]
Comparaison :
- Énergie cinétique relativiste : \( \approx 3,31 \times 10^{-10}\, \text{J} \)
- Énergie cinétique classique : \( \approx 6,78 \times 10^{-11}\, \text{J} \)
Commentaire :
La formule classique sous-estime fortement l’énergie cinétique à haute vitesse. La différence provient du facteur \(\gamma\) qui, pour \( v = 0,95\,c \), devient significatif et rend indispensable l’utilisation de la formule relativiste pour obtenir un résultat correct.
Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule
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