Calcul de l’angle de déviation de la lumière
Comprendre le Calcul de l’angle de déviation de la lumière
La théorie de la relativité générale d’Albert Einstein décrit la gravité non pas comme une force mystérieuse agissant à distance, mais comme une courbure de l’espace-temps causée par la masse.
L’une des conséquences de cette théorie est la prédiction que la lumière passant près d’un objet massif, comme une étoile, sera déviée en raison de cette courbure.
Énoncé:
Considérons une étoile de masse \( M \) positionnée à une distance \( D \) de la Terre. Un rayon lumineux passe à une distance \( d \) de l’étoile sur son chemin vers la Terre. Nous souhaitons calculer l’angle de déviation \( \alpha \) de la lumière causé par la courbure de l’espace-temps autour de l’étoile.
Données:
- Masse de l’étoile, \( M = 2 \times 10^{30} \) kg (masse approximative du Soleil)
- Distance de l’étoile à la Terre, \( D = 1.5 \times 10^{11} \) m (1 unité astronomique)
- Distance de passage du rayon lumineux par rapport à l’étoile, \( d = 7 \times 10^8 \) m (environ le rayon du Soleil)
Constantes
- Constante gravitationnelle, \( G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2} \)
- Vitesse de la lumière, \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)
Question:
Calculer l’angle de déviation \( \alpha \) de la lumière en utilisant l’approximation de champ faible dans la relativité générale.
Correction : Calcul de l’angle de déviation de la lumière
1. Calcul de l’angle de déviation \(\alpha\)
L’angle de déviation \(\alpha\) est calculé en utilisant l’équation de la relativité générale qui relie la masse de l’étoile, la constante gravitationnelle, la vitesse de la lumière, et la distance du rayon lumineux à l’étoile.
Cette formule est valable dans le régime de champ faible, où la déviation de la lumière par les effets gravitationnels est relativement petite mais mesurable.
Formule:
\[ \alpha = \frac{4GM}{c^2 d} \]
Données:
- \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)
- \(M = 2 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
- \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
- \(d = 7 \times 10^8 \, \text{m}\)
Calcul:
\[ \alpha = \frac{4 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30}}{(3 \times 10^8)^2 \times 7 \times 10^8} \] \[ \alpha = \frac{53.392 \times 10^{19}}{63 \times 10^{24}} \] \[ \alpha = 0.8475 \times 10^{-5} \, \text{radians} \]
2. Conversion en Secondes d’Arc
Pour une interprétation plus intuitive de l’angle de déviation, il est utile de convertir l’angle de radians en secondes d’arc. Cela permet de mieux appréhender l’échelle de l’effet de la courbure de l’espace-temps sur la lumière à des distances astronomiques.
Formule:
\[ \alpha \, (\text{secondes d’arc}) = \alpha \, (\text{radians}) \times 206265 \]
Données:
\[ \alpha = 0.8475 \times 10^{-5} \, \text{radians} \]
Calcul:
\[ \alpha \, (\text{secondes d’arc}) = 0.8475 \times 10^{-5} \times 206265 \] \[ \alpha \, (\text{secondes d’arc}) = 1.748 \, \text{secondes d’arc} \]
Conclusion
Cette correction montre que la lumière passant à proximité d’une étoile massive est déviée d’environ 1.748 secondes d’arc en raison de la courbure de l’espace-temps, confirmant ainsi l’une des prédictions remarquables de la relativité générale d’Einstein.
Calcul de l’angle de déviation de la lumière
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