Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone

Comprendre le Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone

Nous allons étudier le mouvement d’un satellite artificiel autour de la Terre. Le satellite est placé sur une orbite géosynchrone, ce qui signifie qu’il doit rester en position fixe par rapport à un point sur l’équateur terrestre.

Cette orbite est cruciale pour les communications et les satellites météorologiques.

Données:

• Masse de la Terre (\(M\)): \(5.972 \times 10^{24}\) kg
• Rayon de la Terre (\(R\)): \(6.371 \times 10^6\) m
• Constante gravitationnelle (\(G\)): \(6.674 \times 10^{-11}\) m\(^3\)kg\(^{-1}\)s\(^{-2}\)
• Période de rotation de la Terre (\(T\)): 86,400 secondes (24 heures)

Question:

Calculer l’altitude \(h\) à laquelle le satellite doit être placé pour maintenir une orbite géosynchrone.

Correction : Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone

Étape 1 : Calcul de la Distance \( r \)

Pour un satellite en orbite géosynchrone, nous devons établir une relation entre la période de l’orbite et la vitesse orbitale.

En partant de l’équation de la vitesse orbitale et de la période, nous avons :

Expression de la vitesse orbitale \( v \):

\[ v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}} \]

Expression de la période \( T \) liée à \( v \):

\[ T = \frac{2\pi r}{v} \]

En combinant ces deux équations, nous pouvons isoler \( r \):

\[ T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}} \] \[ T = \frac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{G \cdot M}} \] \[ r^3 = \frac{G \cdot M \cdot T^2}{4\pi^2} \] \[ r = \left(\frac{G \cdot M \cdot T^2}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}} \]

Substitution des valeurs numériques:

Utilisons les valeurs données pour \( G \), \( M \) et \( T \) pour trouver \( r \):

• \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)
• \(M = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
• \(T = 86400 \, \text{s} \, (24 \, \text{heures})\)

\[ r = \left(\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times (86400)^2}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}} \]

Calculons \(r\) :

\[ r = \left(\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times 7.46496 \times 10^{9}}{39.478}\right)^{\frac{1}{3}} \] \[ r = \left(\frac{3.979 \times 10^{23}}{39.478}\right)^{\frac{1}{3}} \] \[ r = \left(1.008 \times 10^{22}\right)^{\frac{1}{3}} \] \[ r = 2.154 \times 10^7 \, \text{m} \]

Étape 2 : Calcul de l’Altitude \(h\)

Maintenant que nous avons \(r\), calculons l’altitude \(h\) du satellite :

\[ h = r – R \] \[ h = 2.154 \times 10^7 \, \text{m} – 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \] \[ h = 1.517 \times 10^7 \, \text{m} \] \[ h \approx 15,170 \, \text{km} \]

Conclusion:

L’altitude à laquelle le satellite doit être placé pour maintenir une orbite géosynchrone est d’environ 15,170 km au-dessus du niveau de la mer.

Cette orbite permet au satellite de rester en position fixe par rapport à un point donné sur l’équateur terrestre, ce qui est essentiel pour les applications de communication et de surveillance météorologique.

Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone

D’autres exercices d’astrophysique:

• Calcul de la Masse d’une Exoplanète