Calcul de l’activité d’un échantillon de Cobalt-60
Comprendre le Calcul de l’activité d’un échantillon de Cobalt-60
Le Cobalt-60 (Co-60) est un radioisotope utilisé notamment en radiothérapie et pour la stérilisation d’équipements médicaux. La radioactivité d’un échantillon dépend directement du nombre d’atomes présents et de la constante de désintégration du radionucléide. On s’intéresse ici à un très petit échantillon de Co-60 de masse connue.
Données:
- Masse de l’échantillon :
\( m = 1\,\mathrm{mg} = 1.0\times10^{-3}\,\mathrm{g} \) - Masse molaire du Co-60 (approximation) :
\( M = 59.9338\,\mathrm{g/mol} \) - Demi-vie du Co-60 :
\( T_{1/2} = 5.27\,\mathrm{ans} \) - Nombre d’Avogadro :
\( N_A = 6.022\times10^{23}\,\mathrm{atomes/mol} \) - Unités de temps :
1 an = 365.25 jours
1 jour = 24 heures
1 heure = 3600 secondes
Questions:
1. Calculer le nombre initial d’atomes \( N \) contenus dans l’échantillon.
2. Déterminer la constante de désintégration \( \lambda \) (en s\(^{-1}\)) du Co-60.
3. Calculer l’activité initiale \( A_0 \) (en becquerels, Bq) de l’échantillon.
Correction : Calcul de l’activité d’un échantillon de Cobalt-60
1 : Calcul du nombre d’atomes \( N \) dans l’échantillon
Pour obtenir le nombre d’atomes, nous commençons par calculer le nombre de moles \( n \) en divisant la masse de l’échantillon par la masse molaire. Ensuite, on multiplie \( n \) par le nombre d’Avogadro \( N_A \).
Formule :
\[ n = \frac{m}{M} \quad \text{et} \quad N = n \times N_A \]
Données :
- \( m = 1.0\times10^{-3}\,\mathrm{g} \)
- \( M = 59.9338\,\mathrm{g/mol} \)
- \( N_A = 6.022\times10^{23}\,\mathrm{atomes/mol} \)
Calcul :
a) Calcul du nombre de moles \(n\)
\[ n = \frac{1.0\times10^{-3}\,\mathrm{g}}{59.9338\,\mathrm{g/mol}} \] \[ n \approx 1.667\times10^{-5}\,\mathrm{mol} \]
b) Calcul du nombre d’atomes \(N\)
\[ N = 1.667\times10^{-5}\,\mathrm{mol} \times 6.022\times10^{23}\,\mathrm{atomes/mol} \] \[ N \approx 1.0037\times10^{19}\,\mathrm{atomes} \]
2. Détermination de la constante de désintégration \( \lambda \)
La relation liant la demi-vie \( T_{1/2} \) et la constante \( \lambda \) est donnée par :
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \]
Comme la demi-vie est donnée en années, il est nécessaire de la convertir en secondes.
Données :
- \( T_{1/2} = 5.27\,\mathrm{ans} \)
- \( 1\,\mathrm{an} = 31\,557\,600\,\mathrm{s} \) (calculé à partir de 365.25 jours/an, 24 h/jour, 3600 s/h)
- \( \ln 2 \approx 0.693147 \)
Calcul :
a) Conversion de la demi-vie en secondes :
\[ T_{1/2} \, (\mathrm{s}) = 5.27\,\mathrm{ans} \times 31\,557\,600\,\mathrm{s/an} \] \[ T_{1/2} \, (\mathrm{s}) \approx 1.6623\times10^{8}\,\mathrm{s} \]
b) Calcul de \(\lambda\):
\[ \lambda = \frac{0.693147}{1.6623\times10^{8}\,\mathrm{s}} \approx 4.168\times10^{-9}\,\mathrm{s}^{-1} \]
3 : Calcul de l’activité initiale \( A_0 \)
L’activité \( A_0 \) (exprimée en becquerels, Bq) est le nombre de désintégrations par seconde, calculé par le produit de la constante de désintégration \( \lambda \) par le nombre d’atomes \( N \).
Formule :
\[ A_0 = \lambda \times N \]
Données :
- \( \lambda = 4.168\times10^{-9}\,\mathrm{s}^{-1} \)
- \( N = 1.0037\times10^{19}\,\mathrm{atomes} \)
Calcul :
\[ A_0 = 4.168\times10^{-9}\,\mathrm{s}^{-1} \times 1.0037\times10^{19}\,\mathrm{atomes} \] \[ A_0 \approx 4.183\times10^{10}\,\mathrm{Bq} \]
Calcul de l’activité d’un échantillon de Cobalt-60
D’autres exercices de physique nucléaire:
0 commentaires