Calcul de l’accélération
Comprendre le Calcul de l’accélération
Dans le cadre d’un test sur piste inclinée, un chariot est lancé sur une rampe dont l’inclinaison est contrôlée. L’objectif est de déterminer l’accélération du chariot en prenant en compte la force de pesanteur et la force de frottement qui s’oppose au mouvement.
Données :
- Masse du chariot : \( m = 50\,\text{kg} \)
- Angle d’inclinaison de la rampe : \( \theta = 20^\circ \)
- Accélération due à la pesanteur : \( g = 9,81\,\text{m/s}^2 \)
- Coefficient de frottement cinétique entre le chariot et la rampe : \( \mu = 0,15 \)
Questions :
1. Schéma de forces :
- Dessiner le schéma de corps en identifiant toutes les forces agissant sur le chariot (poids, force normale, force de frottement).
2. Décomposition des forces :
- Décomposer le poids du chariot en deux composantes : une parallèle à la rampe et une perpendiculaire.
3. Calcul de la force de frottement :
- Exprimer et calculer la force de frottement cinétique en fonction des données.
4. Détermination de l’accélération :
- À partir de la deuxième loi de Newton, établir l’équation du mouvement le long de la rampe et calculer l’accélération du chariot.
5. Analyse paramétrique :
- Discuter qualitativement l’influence de l’angle d’inclinaison sur l’accélération du chariot.
Correction : Calcul de l’accélération
1 : Schéma de Forces
Le chariot est soumis à trois forces principales lorsqu’il se déplace sur la rampe inclinée :
- Le poids \( \vec{P} \) (dirigé verticalement vers le bas).
- La force normale \( \vec{N} \) (perpendiculaire à la surface de la rampe).
- La force de frottement \( \vec{F}_f \) (opposée au mouvement le long de la rampe).
Schéma (schématique) :
Représentez le chariot par un point.
- \( \vec{P} \) part du centre et pointe vers le bas.
- \( \vec{N} \) part du centre et est perpendiculaire à la rampe.
- \( \vec{F}_f \) est dirigé vers le haut le long de la rampe
2. Décomposition du Poids
Pour étudier le mouvement le long de la rampe, on décompose le poids en deux composantes :
- Composante parallèle à la rampe qui provoque l’accélération.
- Composante perpendiculaire à la rampe qui détermine la force normale.
Formules :
- Composante parallèle :
\[ P_\parallel = m \, g \, \sin\theta \]
- Composante perpendiculaire :
\[ P_\perp = m \, g \, \cos\theta \]
Données :
- Masse \( m = 50\,\text{kg} \)
- Accélération due à la pesanteur \( g = 9,81\,\text{m/s}^2 \)
- Angle \( \theta = 20^\circ \)
Calcul :
- Calcul de \( \sin(20^\circ) \) et \( \cos(20^\circ) \) :
\[ \sin(20^\circ) \approx 0,3420,\quad \cos(20^\circ) \approx 0,9397 \]
- Composante parallèle :
\[ P_\parallel = 50 \times 9,81 \times 0,3420 \] \[ P_\parallel \approx 50 \times 3,351 \] \[ P_\parallel \approx 167,55\,\text{N} \]
- Composante perpendiculaire :
\[ P_\perp = 50 \times 9,81 \times 0,9397 \] \[ P_\perp \approx 50 \times 9,222 \] \[ P_\perp \approx 461,10\,\text{N} \]
3. Calcul de la Force de Frottement
La force de frottement \( F_f \) s’oppose au mouvement. Elle est proportionnelle à la force normale.
Formule :
\[ F_f = \mu \, N \quad \text{avec} \quad N = P_\perp = m \, g \, \cos\theta \]
Données :
- Coefficient de frottement \( \mu = 0,15 \)
- \( m = 50\,\text{kg} \), \( g = 9,81\,\text{m/s}^2 \), \( \cos(20^\circ) \approx 0,9397 \)
Calcul :
- Calcul de la force normale :
\[ N = 50 \times 9,81 \times 0,9397 \] \[ N \approx 461,10\,\text{N} \]
- Force de frottement :
\[ F_f = 0,15 \times 461,10 \] \[ F_f \approx 69,17\,\text{N} \]
4. Détermination de l’Accélération
On applique la deuxième loi de Newton le long de la rampe en considérant la direction du mouvement (sens descendant positif).
Formule :
La somme des forces le long de la rampe est :
\[ m \, a = P_\parallel – F_f \] \[ m \, a = m \, g \, \sin\theta – \mu \, m \, g \, \cos\theta \]
En simplifiant par \( m \) (non nul) :
\[ a = g \, (\sin\theta – \mu \, \cos\theta) \]
Données :
- \( g = 9,81\,\text{m/s}^2 \)
- \( \sin(20^\circ) \approx 0,3420 \)
- \( \cos(20^\circ) \approx 0,9397 \)
- \( \mu = 0,15 \)
Calcul :
- Calcul de \( \mu \, \cos\theta \) :
\[ 0,15 \times 0,9397 \approx 0,14096 \]
- Différence des termes :
\[ \sin\theta – \mu \, \cos\theta \approx 0,3420 – 0,14096 \] \[ \approx 0,20104 \]
- Accélération :
\[ a = 9,81 \times 0,20104 \] \[ a \approx 1,97\,\text{m/s}^2 \]
5. Analyse de l’Influence de l’Angle d’Inclinaison
L’accélération le long de la rampe dépend de l’angle \( \theta \) par la relation :
\[ a = g \, (\sin\theta – \mu \, \cos\theta) \]
Analyse qualitative :
Si \( \theta \) augmente :
- \( \sin\theta \) augmente, ce qui accroît la force parallèle au plan.
- \( \cos\theta \) diminue, réduisant la force normale et donc la force de frottement.
- L’accélération \( a \) augmente.
Si \( \theta \) diminue :
- \( \sin\theta \) diminue et \( \cos\theta \) augmente, augmentant ainsi la force de frottement.
- L’accélération \( a \) diminue.
Conclusion
En résumé, en substituant les valeurs données dans les formules, nous avons déterminé que l’accélération du chariot le long de la rampe est :
\[ a \approx 1,97\,\text{m/s}^2 \]
Calcul de l’accélération
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