Calcul de la Vitesse Relativiste des Protons
Comprendre le Calcul de la Vitesse Relativiste des Protons
Les accélérateurs de particules sont des dispositifs utilisés en physique des particules pour accélérer des particules chargées, telles que les protons, à des vitesses proches de celle de la lumière.
Ces particules sont ensuite faites entrer en collision, produisant ainsi un éventail de particules plus exotiques à étudier.
Un des aspects fondamentaux de la conception d’un accélérateur est le calcul de l’énergie nécessaire pour atteindre une vitesse souhaitée.
Données:
- Masse au repos du proton: \(m_0 = 1.67 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
- Vitesse de la lumière: \(c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
- Énergie cinétique souhaitée: \(E_k = 1.5 \times 10^{-10} \, \text{joules}\)
Question:
Calculer la vitesse finale \(v\) du proton nécessaire pour atteindre l’énergie cinétique spécifiée, en utilisant l’équation relativiste de l’énergie cinétique.
Correction : Calcul de la Vitesse Relativiste des Protons
Étape 1: Rappel de la formule de l’énergie cinétique relativiste
La formule de l’énergie totale \(E\) d’une particule est donnée par :
\[ E = \gamma mc^2 \]
où \(\gamma\) est le facteur de Lorentz, \(m\) est la masse de repos de la particule, et \(c\) est la vitesse de la lumière.
Le facteur de Lorentz est défini par :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} \]
L’énergie cinétique \(E_k\) est alors la différence entre l’énergie totale et l’énergie de masse de repos :
\[ E_k = (\gamma – 1) mc^2 \]
Étape 2: Calcul de la vitesse finale
Substitution des données dans la formule:
Données fournies :
- Masse au repos du proton, \(m_0 = 1.67 \times 10^{-27}\) kg
- Vitesse de la lumière, \(c = 3.00 \times 10^8\) m/s
- Énergie cinétique souhaitée, \(E_k = 1.5 \times 10^{-10}\) joules
Formule avec substitutions :
\[ 1.5 \times 10^{-10} = (\gamma – 1) \times 1.67 \times 10^{-27} \times (3.00 \times 10^8)^2 \]
Calcul du facteur de Lorentz \(\gamma\):
Calcul de l’énergie de masse de repos \(mc^2\) :
\[ mc^2 = 1.67 \times 10^{-27} \times (3.00 \times 10^8)^2 \] \[ mc^2 = 1.503 \times 10^{-10} \text{ joules} \]
Isolation de \(\gamma\) :
\[ 1.5 \times 10^{-10} = (\gamma – 1) \times 1.503 \times 10^{-10} \] \[ \gamma – 1 = \frac{1.5 \times 10^{-10}}{1.503 \times 10^{-10}} \approx 0.998 \] \[ \gamma \approx 1.998 \]
Calcul de la vitesse finale \(v\):
Utilisation du facteur de Lorentz pour trouver \(v\) :
\[ 1.998 = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{(3.00 \times 10^8)^2}}} \] \[ \sqrt{1 – \frac{v^2}{(3.00 \times 10^8)^2}} = \frac{1}{1.998} \] \[ 1 – \frac{v^2}{(3.00 \times 10^8)^2} = \left(\frac{1}{1.998}\right)^2 \] \[ \frac{v^2}{(3.00 \times 10^8)^2} = 1 – \left(\frac{1}{1.998}\right)^2 \] \[ v^2 = (3.00 \times 10^8)^2 \times \left(1 – \left(\frac{1}{1.998}\right)^2\right) \] \[ v = 3.00 \times 10^8 \times \sqrt{0.499} \] \[ v \approx 2.12 \times 10^8 \text{ m/s} \]
Résultat final :
La vitesse nécessaire pour que le proton atteigne une énergie cinétique de \(1.5 \times 10^{-10}\) joules est d’environ \(2.12 \times 10^8\) mètres par seconde, ce qui est une fraction significative de la vitesse de la lumière et démontre les effets relativistes à ces vitesses élevées.
Calcul de la Vitesse Relativiste des Protons
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