Calcul de la période orbitale d’une exoplanète
Comprendre le Calcul de la période orbitale d’une exoplanète
On étudie une exoplanète qui orbite autour d’une étoile de masse légèrement supérieure à celle du Soleil. On souhaite calculer la période de révolution de cette exoplanète à partir de la loi de la gravitation et de la troisième loi de Kepler.
Données:
- Masse de l’étoile, \(M_\star = 2,00 \times 10^{30} \, \text{kg}\).
- Constante gravitationnelle, \(G = 6,67430 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \, \text{kg}^{-1} \, \text{s}^{-2}\).
- Distance moyenne (rayon orbital) de l’exoplanète à l’étoile, \(a = 2,00 \times 10^{11} \, \text{m}\).
- On néglige la masse de l’exoplanète devant celle de l’étoile.
Questions:
1. Calculez la période orbitale \(T\) de l’exoplanète (en secondes).
2. Convertissez cette période en jours et en années terrestres (en considérant \(1 \, \text{jour} = 86400 \, \text{s}\) et \(1 \, \text{année} \approx 365 \, \text{jours}\)).
Correction : Calcul de la période orbitale d’une exoplanète
1. Calcul de la période orbitale \(T\) de l’exoplanète (en secondes)
A. Calcul de \( T^2 \)
La troisième loi de Kepler, dans sa forme universelle, s’écrit :
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_\star} a^3. \]
où :
- \( T \) : période de révolution (en secondes).
- \( a \) : demi-grand axe de l’orbite (en mètres).
- \( M_\star \) : masse de l’étoile (en kg).
- \( G \) : constante de gravitation universelle.
- On considère l’orbite circulaire pour simplifier (\( a \) = rayon orbital).
Données:
- \(a = 2.00 \times 10^{11} \, \text{m},\)
- \(M_\star = 2.00 \times 10^{30} \, \text{kg},\)
- \(G = 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2},\)
- \(\pi^2 \approx 9.869604401 \, (\text{et donc } 4\pi^2 \approx 39.4784176).\)
Calcul:
- Calcul de \( a^3 \):
\[ a^3 = (2.00 \times 10^{11})^3 \] \[ a^3 = 8.00 \times 10^{33} \, \text{m}^3. \]
- Calcul de \( GM_\star \):
\[ GM_\star = 6.67430 \times 10^{-11} \times 2.00 \times 10^{30} \] \[ GM_\star = 1.33486 \times 10^{20} \, \text{m}^3\text{s}^{-2}. \]
- Calcul de \( 4\pi^2 \):
\[ 4\pi^2 \approx 39.4784176. \]
- Calcul de la fraction \( \frac{4\pi^2 GM_\star}{a^3} \):
\[ = \frac{4\pi^2 GM_\star}{a^3} \] \[ \approx 2.9588 \times 10^{-19} \, \text{m}^{-3}\text{s}^2. \]
- Multiplication par \( a^3 \) pour obtenir \( T^2 \):
\[ T^2 = (2.9588 \times 10^{-19}) \times (8.00 \times 10^{33}). \] \[ \text{D’abord, } 2.9588 \times 8 = 23.6704. \]
\[ T^2 \approx 23.6704 \times 10^{14} \] \[ T^2 = 2.36704 \times 10^{15} \, \text{s}^2. \]
Pour un nombre plus arrondi :
\[ T^2 \approx 2.37 \times 10^{15} \, \text{s}^2. \]
B. Calcul de \( T \)
Pour trouver la période \( T \), on prend la racine carrée de \( T^2 \).
Formule:
\[ T = \sqrt{T^2} = \sqrt{2.37 \times 10^{15}}. \]
Données:
- \(T^2 \approx 2.37 \times 10^{15} \, \text{s}^2.\)
Calcul:
\[ T = \sqrt{2.37 \times 10^{15}} \] \[ T = 1.54 \times 10^{7.5} \, \text{s}. \]
Rappel :
\[ 10^{7.5} = 10^{7} \times 10^{0.5} \] \[ = (1 \times 10^{7}) \times 10 \] \[ \approx 3.162 \times 10^{7}. \]
Ainsi,
\[ T \approx 1.54 \times 3.162 \times 10^{7} \] \[ T = 4.87 \times 10^{7} \, \text{s}. \]
Numériquement :
\[ T \approx 4.87 \times 10^{7} \, \text{s}. \]
2. Conversion cette période en jours et en années terrestres
A. Conversion de \( T \) en jours
Pour convertir des secondes en jours, on utilise :
\[ 1 \, \text{jour} = 86400 \, \text{s}. \]
Formule:
\[ T_{\text{jours}} = \frac{T_{\text{secondes}}}{86400}. \]
Données:
\[ T_{\text{secondes}} \approx 4.87 \times 10^{7} \, \text{s}. \] \[ 1 \, \text{jour} = 86400 \, \text{s}. \]
Calcul:
\[ T_{\text{jours}} = \frac{4.87 \times 10^{7}}{86400} \] \[ T_{\text{jours}} \approx 564 \, \text{jours}. \]
B. Conversion de \( T \) en années
On prend comme référence :
\[ 1 \, \text{année} \approx 365 \, \text{jours}. \]
Formule:
\[ T_{\text{années}} = \frac{T_{\text{jours}}}{365}. \]
Données:
- \(T_{\text{jours}} \approx 564 \, \text{jours}.\)
- \(1 \, \text{année} \approx 365 \, \text{jours}.\)
Calcul:
\[ T_{\text{années}} = \frac{564}{365} \approx 1.55 \, \text{années}. \]
Conclusion:
Après avoir appliqué la troisième loi de Kepler et effectué tous les calculs, la période orbitale de l’exoplanète est :
\(T \approx 4.87 \times 10^{7} \, \text{s} \Longleftrightarrow \approx 564 \, \text{jours} \Longleftrightarrow \approx 1.55 \, \text{ans}.\)
Ainsi, l’exoplanète met environ 1.55 an pour faire le tour de son étoile.
Calcul de la période orbitale d’une exoplanète
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