Calcul de la Masse d’une Exoplanète

Comprendre le Calcul de la Masse d’une Exoplanète

Nous étudierons une exoplanète, désignée par HD 209458 b, qui orbite autour de son étoile hôte, située à une distance d’environ 150 années-lumière de la Terre dans la constellation du Pégase.

La méthode des vitesses radiales a été utilisée pour détecter cette exoplanète, ce qui implique de mesurer les variations de vitesse de l’étoile due à l’attraction gravitationnelle de la planète.

Ces mesures nous permettent de déduire plusieurs caractéristiques de la planète, y compris sa masse.

Données Fournies:

• Vitesse radiale maximale de l’étoile (\(v_{\text{rad}}\)): 85 m/s
• Période orbitale de la planète (\(T\)): 3.524 jours
• Masse de l’étoile (\(M_{\text{étoile}}\)): 1.1 masses solaires (\(M_{\odot}\))

Considérations:

La masse d’une étoile typique est donnée en multiples de la masse solaire, où \(1 M_{\odot}\) est équivalent à environ \(2 \times 10^{30}\) kg. La période orbitale est convertie en secondes pour une utilisation dans nos calculs.

Question:

Calculer la masse de l’exoplanète (\(M_{\text{planète}}\)) en utilisant la formule suivante, dérivée de la loi de gravitation universelle et des lois de Kepler:

\[ M_{\text{planète}} = \frac{M_{\text{étoile}} \times \left(v_{\text{rad}} \times T \times 2\pi / G\right)^{1/3}}{1.036 \times 10^{-7}} \]

où \(G\) est la constante gravitationnelle (\(6.674 \times 10^{-11}\, \text{m}^3/\text{kg}/\text{s}^2\)).

Correction : Calcul de la Masse d’une Exoplanète

1. Conversion de la période orbitale en secondes

La période orbitale donnée est de 3.524 jours. Pour la convertir en secondes, nous utilisons la conversion standard de 86400 secondes par jour :

\[ T = 3.524 \, \text{jours} \times 86400 \, \text{s/jour} \] \[ T = 304,473.6 \, \text{s} \]

Cette conversion est nécessaire car les autres unités dans nos calculs sont en secondes, permettant une cohérence dimensionnelle.

2. Calcul de la circonférence de l’orbite en fonction de la vitesse radiale

La formule pour la circonférence basée sur la vitesse radiale est :

\[ v_{\text{rad}} \times T \times 2\pi \]

En substituant les valeurs :

\[ v_{\text{rad}} = 85 \, \text{m/s}, \, T = 304,473.6 \, \text{s} \] \[ v_{\text{rad}} \times T \times 2\pi = 85 \, \text{m/s} \times 304,473.6 \, \text{s} \times 2\pi \] \[ v_{\text{rad}} \times T \times 2\pi \approx 162,595,902 \, \text{m} \]

Ce résultat représente la circonférence totale de l’orbite basée sur le mouvement de l’étoile due à la gravité de la planète.

3. Calcul de la masse minimale de l’exoplanète

Utilisons une formule corrigée qui inclut l’inclinaison de l’orbite (\(i\)) pour obtenir la masse minimale de la planète :

\[ M_{\text{planète}} \sin i = \left( \frac{(v_{\text{rad}}^2 \times T^2 \times 2\pi \times G \times M_{\text{étoile}}^2)}{2\pi \times G} \right)^{\frac{1}{3}} \]

Où \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg}/\text{s}^2\) est la constante gravitationnelle, \(M_{\text{étoile}} = 1.1 \times M_{\odot}\), et \(M_{\odot} = 2 \times 10^{30} \, \text{kg}\).

En substituant les valeurs :

\[ M_{\text{planète}} \sin i = \left( \frac{(85 \, \text{m/s})^2 \times (304,473.6 \, \text{s})^2 \times 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg}/\text{s}^2 \times (1.1 \times 2 \times 10^{30} \, \text{kg})^2}{2\pi \times 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg}/\text{s}^2} \right)^{\frac{1}{3}} \] \[ M_{\text{planète}} \sin i \approx 0.7 \times 10^{27} \, \text{kg} \]

4. Analyse de l’impact d’une sous-estimation de la vitesse radiale

Supposons que la vitesse radiale soit sous-estimée de 5 m/s, soit 80 m/s :

• \( v_{\text{rad}} = 80 \, \text{m/s} \)

Répétons les calculs pour voir l’impact :

\[ M_{\text{planète}} \sin i = \left( \frac{(80 \, \text{m/s})^2 \times (304,473.6 \, \text{s})^2 \times 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg}/\text{s}^2 \times (1.1 \times 2 \times 10^{30} \, \text{kg})^2}{2\pi \times 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg}/\text{s}^2} \right)^{\frac{1}{3}} \] \[ M_{\text{planète}} \sin i \approx 0.65 \times 10^{27} \, \text{kg} \]

Cela montre qu’une sous-estimation de la vitesse radiale entraîne une sous-estimation de la masse de la planète. Ce résultat met en évidence l’importance de mesures précises pour l’étude des exoplanètes.

Calcul de la Masse d’une Exoplanète