Calcul de la Masse d’une Exoplanète

Calcul de la Masse d’une Exoplanète

Comprendre le Calcul de la Masse d’une Exoplanète

Nous étudierons une exoplanète, désignée par HD 209458 b, qui orbite autour de son étoile hôte, située à une distance d’environ 150 années-lumière de la Terre dans la constellation du Pégase. La méthode des vitesses radiales a été utilisée pour détecter cette exoplanète, ce qui implique de mesurer les variations de vitesse de l’étoile due à l’attraction gravitationnelle de la planète. Ces mesures nous permettent de déduire plusieurs caractéristiques de la planète, y compris sa masse.

Données Fournies:

• Vitesse radiale maximale de l’étoile (\(v_{\text{rad}}\)): 85 m/s
• Période orbitale de la planète (\(T\)): 3.524 jours
• Masse de l’étoile (\(M_{\text{étoile}}\)): 1.1 masses solaires (\(M_{\odot}\))

Considérations:

La masse d’une étoile typique est donnée en multiples de la masse solaire, où \(1 M_{\odot}\) est équivalent à environ \(2 \times 10^{30}\) kg. La période orbitale est convertie en secondes pour une utilisation dans nos calculs.

Question:

Calculer la masse de l’exoplanète (\(M_{\text{planète}}\)) en utilisant la formule dérivée de la loi de gravitation universelle et des lois de Kepler.

Correction : Calcul de la Masse d’une Exoplanète

1. Rappel des Données et Hypothèses

Données fournies :

• Vitesse radiale maximale de l’étoile :
  \(K = 85 \, \text{m/s}\)
• Période orbitale de la planète :
  \(T = 3.524 \, \text{jours}\)
• Masse de l’étoile :
  \(M_{\text{étoile}} = 1.1 \, M_\odot \quad \text{avec} \quad 1 \, M_\odot \approx 2 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
• Constante gravitationnelle :
  \(G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)

Hypothèses :

• L’angle d’inclinaison est supposé tel que \(\sin i \approx 1\).
• La masse de la planète étant négligeable devant celle de l’étoile, on pose
  \(M_{\text{étoile}} + M_{\text{planète}} \approx M_{\text{étoile}}.\)

2. Formule Utilisée

La relation issue de l’analyse des vitesses radiales permet d’exprimer la masse de la planète (en négligeant \(\sin i\) ou en supposant \(\sin i \approx 1\)) sous la forme :

\[ M_{\text{planète}} \approx K \, M_{\text{étoile}}^{\frac{2}{3}} \left(\frac{T}{2\pi G}\right)^{\frac{1}{3}} \]

Cette formule provient de la combinaison de la loi de gravitation universelle et des lois de Kepler dans le cas de la méthode des vitesses radiales.

3. Étapes du Calcul

3.1. Conversion de la Période Orbitale

Il faut convertir la période orbitale \(T\) de jours en secondes :

\[ T = 3.524 \, \text{jours} \times 86400 \, \frac{\text{s}}{\text{jour}} \] \[ T = 3.524 \times 86400 \, \text{s} \] \[ T = 304473.6 \, \text{s} \quad (\text{approximativement}) \]

3.2. Calcul de la Masse de l’Étoile en Kilogrammes

On convertit la masse stellaire en kilogrammes :

\[ M_{\text{étoile}} = 1.1 \times 2 \times 10^{30} \, \text{kg} \] \[ M_{\text{étoile}} = 2.2 \times 10^{30} \, \text{kg} \]

3.3. Calcul de \(M_{\text{étoile}}^{\frac{2}{3}}\)

On calcule :

\[ M_{\text{étoile}}^{\frac{2}{3}} = \left(2.2 \times 10^{30}\right)^{\frac{2}{3}} \]

On peut écrire :

\[ \left(2.2 \times 10^{30}\right)^{\frac{2}{3}} = 2.2^{\frac{2}{3}} \times \left(10^{30}\right)^{\frac{2}{3}} \]

Ainsi,

\[ M_{\text{étoile}}^{\frac{2}{3}} \approx 1.69 \times 10^{20} \, \text{kg}^{\frac{2}{3}} \]

3.4. Calcul de \(\left(\frac{T}{2\pi G}\right)^{\frac{1}{3}}\)

a) Calcul du dénominateur :

\[ 2\pi G = 2 \times \pi \times 6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2} \]

\[ 2\pi G \approx 6.28318 \times 6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2} \] \[ \approx 4.189 \times 10^{-10} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2} \]

b) Calcul de \(\frac{T}{2\pi G}\) :}

\[ \frac{T}{2\pi G} = \frac{304473.6 \, \text{s}}{4.189 \times 10^{-10} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}} \] \[ \approx 7.26 \times 10^{14} \, \text{s}^2\text{kg}\text{m}^{-3} \]

c) Prise de la racine cubique :

\[ \left(\frac{T}{2\pi G}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(7.26 \times 10^{14}\right)^{\frac{1}{3}} \] \[ \left(\frac{T}{2\pi G}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 1.94 \times 4.64 \times 10^4 \] \[ \approx 9.01 \times 10^4 \]

3.5. Calcul Final de \(M_{\text{planète}}\)

En substituant tous les résultats dans la formule :

\[ M_{\text{planète}} \approx K \times M_{\text{étoile}}^{\frac{2}{3}} \times \left(\frac{T}{2\pi G}\right)^{\frac{1}{3}} \]

Substitution des valeurs :

• \(K = 85 \, \text{m/s}\)
• \(M_{\text{étoile}}^{\frac{2}{3}} \approx 1.69 \times 10^{20} \, \text{kg}^{\frac{2}{3}}\)
• \(\left(\frac{T}{2\pi G}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 9.01 \times 10^4\)

Calcul :

\[ M_{\text{planète}} \approx 85 \times 1.69 \times 10^{20} \times 9.01 \times 10^4 \] \[ M_{\text{planète}} = 85 \times 15.23 \times 10^{24} \] \[ M_{\text{planète}} \approx 1294.55 \times 10^{24} \] \[ M_{\text{planète}} = 1.29455 \times 10^{27} \, \text{kg} \]

Conclusion

La masse de l’exoplanète HD 209458 b est donc :

\[ M_{\text{planète}} \approx 1.3 \times 10^{27} \, \text{kg} \]

Ce résultat est cohérent avec la masse d’une planète de type jovien, ce qui est attendu pour ce type d’exoplanète détectée par la méthode des vitesses radiales.

Calcul de la Masse d’une Exoplanète

D’autres exercices d’astrophysique:

• Calcul de l’Énergie Sombre
• Calcul de la période orbitale d’une exoplanète
• Calcul de l’Expansion Exponentielle