Calcul de la Longueur Contractée d’une Sonde
Comprendre le Calcul de la Longueur Contractée d’une Sonde
Une expérimentation scientifique implique l’observation d’une sonde spatiale ultra-rapide qui se déplace à une vitesse proche de celle de la lumière. Cette sonde est équipée de divers instruments de mesure et est en approche rapide d’une station spatiale.
Pour des mesures précises, il est crucial de prendre en compte les effets relativistes tels que la contraction des longueurs, car la sonde se déplace à une vitesse significative par rapport à la station.
Données:
- Vitesse de la sonde spatiale: \( v = 0.9c \), où \( c \) est la vitesse de la lumière dans le vide (\( c = 3 \times 10^8 \) m/s).
- Longueur propre de la sonde (longueur mesurée dans le référentiel où la sonde est au repos): \( L_0 = 100 \) mètres.
Question:
Calculer la longueur de la sonde telle que mesurée par un observateur situé sur la station spatiale, en tenant compte de la contraction des longueurs due à la vitesse relativiste de la sonde.
Correction : Calcul de la Longueur Contractée d’une Sonde
1. Rappel du concept de contraction des longueurs
La contraction des longueurs est un phénomène prédit par la théorie de la relativité restreinte d’Einstein, qui indique que les objets se déplaçant à une vitesse proche de celle de la lumière apparaîtront plus courts dans la direction du mouvement lorsqu’ils sont mesurés depuis un référentiel dans lequel ils sont en mouvement.
2. Formule de contraction des longueurs
La formule utilisée pour calculer la contraction des longueurs est :
\[ L = L_0 \sqrt{1 – \left(\frac{v}{c}\right)^2} \]
où :
- \( L \) est la longueur de l’objet mesurée dans le référentiel où l’objet est en mouvement (station spatiale),
- \( L_0 \) est la longueur propre de l’objet (la longueur de l’objet dans le référentiel où il est au repos),
- \( v \) est la vitesse relative de l’objet par rapport à l’observateur,
- \( c \) est la vitesse de la lumière dans le vide.
3. Substitution des valeurs dans la formule
Données fournies:
- Vitesse de la sonde spatiale : \( v = 0.9c \)
- Longueur propre de la sonde : \( L_0 = 100 \) mètres
Pour trouver la longueur observée \( L \), substituons les valeurs dans la formule :
\[ L = 100 \sqrt{1 – \left(\frac{0.9c}{c}\right)^2} \] \[ L = 100 \sqrt{1 – 0.81} \] \[ L = 100 \sqrt{0.19} \]
Calcul:
Effectuons maintenant le calcul final :
\[ L = 100 \times 0.43589 \quad \text{(valeur approchée de } \sqrt{0.19}\text{)} \] \[ L \approx 43.589 \text{ mètres} \]
Conclusion
La longueur de la sonde spatiale, telle que mesurée par un observateur sur la station spatiale, est d’environ 43.589 mètres.
Ce résultat montre une réduction significative de la longueur due à la vitesse élevée de la sonde par rapport à la vitesse de la lumière, illustrant ainsi l’effet de la contraction des longueurs prédit par la relativité restreinte.
Calcul de la Longueur Contractée d’une Sonde
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