Calcul de la Demi-Vie du Xylothium-254
Comprendre le Calcul de la Demi-Vie du Xylothium-254
Une équipe de chercheurs travaille sur un isotope radioactif synthétique, le Xylothium-254 (Xy-254), qui est un isotope fictif utilisé uniquement à des fins expérimentales en raison de sa demi-vie très courte et de ses applications potentielles dans le traitement ciblé des tumeurs cancéreuses. Le Xy-254 se désintègre par émission beta pour former un isotope stable, le Yttrithium-254 (Yt-254).
Les chercheurs ont synthétisé une quantité initiale de Xy-254 et l’ont placée dans un conteneur plombé pour mesurer son activité radioactive afin de déterminer sa demi-vie exacte, essentielle pour son utilisation en médecine nucléaire.
Données Initiales:
- Activité initiale du Xy-254: \(A_0 = 15,000\) Bq (becquerels)
- Activité mesurée après 6 heures: \(A_6 = 1,875\) Bq
Question:
Calculer la demi-vie du Xy-254 basée sur les données fournies.
Correction : Calcul de la Demi-Vie du Xylothium-254
Étape 1 : Calcul de la constante de décroissance \(\lambda\)
Nous utilisons la formule de la décroissance radioactive :
\[ A = A_0 \times e^{-\lambda t} \]
où :
- \(A\) est l’activité mesurée après un temps \(t\),
- \(A_0\) est l’activité initiale,
- \(\lambda\) est la constante de décroissance radioactive,
- \(t\) est le temps en secondes.
Substituons les valeurs données :
- \( A_0 = 15,000 \text{ Bq} \)
- \( A = 1,875 \text{ Bq} \)
- \( t = 6 \text{ heures} = 6 \times 3600 \text{ secondes} = 21600 \text{ secondes} \)
La formule devient :
\[ 1,875 = 15,000 \times e^{-\lambda \times 21600} \]
Réarrangeons l’équation pour isoler \(\lambda\) :
\[ \frac{1,875}{15,000} = e^{-\lambda \times 21600} \] \[ \frac{1}{8} = e^{-\lambda \times 21600} \]
Appliquons le logarithme naturel des deux côtés pour résoudre \(\lambda\) :
\[ \ln\left(\frac{1}{8}\right) = -\lambda \times 21600 \] \[ \lambda = -\frac{\ln\left(\frac{1}{8}\right)}{21600} \] \[ \lambda \approx \frac{2.079}{21600} \] \[ \lambda \approx 9.629 \times 10^{-5} \, \text{s}^{-1} \]
Étape 2 : Calcul de la demi-vie \(T_{1/2}\)
Utilisons la relation entre la demi-vie et la constante de décroissance :
\[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \]
Substituons la valeur de \(\lambda\) trouvée :
\[ T_{1/2} = \frac{0.693}{9.629 \times 10^{-5}} \] \[ T_{1/2} \approx 7198.26 \, \text{s} \]
Convertissons en heures :
\[ T_{1/2} \approx \frac{7198.26}{3600} \] \[ T_{1/2} \approx 2.00 \, \text{heures} \]
Étape 3 : Analyse des Résultats
- Implications médicales :
La demi-vie de 2 heures du Xy-254 implique qu’il doit être utilisé rapidement après sa production, ce qui est crucial pour des applications médicales telles que le traitement des tumeurs cancéreuses où un isotope à demi-vie courte permet une décroissance rapide limitant l’exposition aux radiations des tissus sains environnants.
- Importance des mesures précises :
La précision dans la mesure de l’activité radioactive est vitale pour déterminer correctement la demi-vie. Des erreurs dans ces mesures peuvent significativement affecter la planification du traitement en médecine nucléaire et la sécurité des patients.
Calcul de la Demi-Vie du Xylothium-254
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