Bloc sur plan incliné avec frottements
Comprendre le calcul du Bloc sur plan incliné avec frottements
Un bloc de masse \( m = 3\,\mathrm{kg} \) est placé sur un plan incliné qui fait un angle \( \alpha = 30^\circ \) avec l’horizontale. La longueur de la pente est \( L = 5\,\mathrm{m} \). Le frottement entre le bloc et le plan est caractérisé par un coefficient de frottement cinétique \( \mu = 0,2 \). Le bloc est initialement au repos et est lâché sans poussée supplémentaire. On souhaite analyser sa descente le long du plan.
Données :
- \( m = 3\,\mathrm{kg} \)
- \( \alpha = 30^\circ \)
- \( L = 5\,\mathrm{m} \)
- \( \mu = 0,2 \)
- \( g = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \)
Questions :
1. Accélération effective :
En tenant compte de la composante du poids parallèle au plan et de la force de frottement (qui s’oppose au mouvement), déterminez l’accélération \( a \) du bloc le long du plan.
Indice : La force parallèle au plan est \( mg\sin\alpha \) et la force de frottement est \( F_f = \mu\, mg\cos\alpha \).
2. Vitesse en bas de la pente :
En utilisant le résultat de la question précédente et en considérant que le bloc part du repos, calculez la vitesse \( v \) du bloc lorsqu’il atteint le bas du plan.
3. Temps de descente :
Déterminez le temps \( t \) nécessaire pour que le bloc descende les \( 5\,\mathrm{m} \) du plan incliné.
4. Travail de la force de frottement :
Calculez le travail \( W_f \) effectué par la force de frottement lors de la descente du bloc sur le plan.
Correction : Bloc sur plan incliné avec frottements
1. Calcul de l’accélération effective \( a \)
Sur un plan incliné, le poids se décompose en deux composantes :
- La composante parallèle au plan : \( mg\sin\alpha \), qui accélère le bloc vers le bas.
- La composante perpendiculaire : \( mg\cos\alpha \), qui permet de calculer la force normale.
La force de frottement, qui s’oppose au mouvement, est donnée par :
\[ F_f = \mu\, mg\cos\alpha \]
La force nette le long du plan est alors :
\[ F_{\text{net}} = mg\sin\alpha – \mu\, mg\cos\alpha \]
D’après la deuxième loi de Newton, \( F_{\text{net}} = m\,a \), ce qui donne :
\[ a = g\left(\sin\alpha – \mu\cos\alpha\right) \]
Données :
- \(g = 9,81\,\mathrm{m/s^2}\)
- \(\alpha = 30^\circ\)
- \(\mu = 0,2\)
- \(\sin30^\circ = 0,5\)
- \(\cos30^\circ \approx 0,866.\)
Calcul :
\[ a = 9,81 \times \left(0,5 – 0,2 \times 0,866\right) \] \[ a = 9,81 \times \left(0,5 – 0,1732\right) \] \[ a = 9,81 \times 0,3268 \] \[ a \approx 3,204\,\mathrm{m/s^2} \]
2. Calcul de la vitesse en bas de la pente \( v \)
Pour un mouvement uniformément accéléré à partir du repos, on utilise la relation :
\[ v^2 = v_0^2 + 2aL \]
avec \( v_0 = 0 \).
Données :
- \(a \approx 3,204\,\mathrm{m/s^2}\),
- \(L = 5\,\mathrm{m}.\)
Calcul :
\[ v^2 = 0 + 2 \times 3,204 \times 5 \] \[ v^2 = 32,04 \] \[ v = \sqrt{32,04} \] \[ v \approx 5,66\,\mathrm{m/s} \]
3. Calcul du temps de descente \( t \)
La distance parcourue en mouvement uniformément accéléré à partir du repos est donnée par :
\[ L = \frac{1}{2}\,a\,t^2 \]
On résout cette équation pour \( t \).
Données :
- \(L = 5\,\mathrm{m}\)
- \(a \approx 3,204\,\mathrm{m/s^2}.\)
Calcul :
\[ 5 = \frac{1}{2} \times 3,204 \times t^2 \] \[ \Longrightarrow \quad t^2 = \frac{10}{3,204} \approx 3,121 \] \[ t \approx \sqrt{3,121} \] \[ t\approx 1,77\,\mathrm{s} \]
4. Calcul du travail de la force de frottement \( W_f \)
Le travail effectué par une force constante est donné par :
\[ W = F \times d \times \cos\theta \]
Pour la force de frottement, qui s’oppose au déplacement (donc \( \theta = 180^\circ \) et \( \cos\theta = -1 \)), on a :
\[ W_f = – F_f \times L \]
avec \( F_f = \mu\, mg\cos\alpha \).
Données :
- \(\mu = 0,2\)
- \(m = 3\,\mathrm{kg}\)
- \(g = 9,81\,\mathrm{m/s^2}\)
- \(\cos30^\circ \approx 0,866\)
- \(L = 5\,\mathrm{m}.\)
Calcul :
\[ F_f = 0,2 \times 3 \times 9,81 \times 0,866 \approx 5,099\,\mathrm{N} \]
\[ W_f = – 5,099 \times 5 \approx -25,495\,\mathrm{J} \]
Arrondi, on obtient :
\[ W_f \approx -25,5\,\mathrm{J} \]
Bloc sur plan incliné avec frottements
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