Application du Modèle de Bohr

Comprendre l’Application du Modèle de Bohr

Le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène est un modèle quantique précoce qui postule que les électrons orbitent autour du noyau en orbites circulaires fixes tout en obéissant aux règles de la mécanique quantique.

Selon ce modèle, les électrons ne peuvent occuper que certaines orbites où leur moment angulaire est quantifié, et ils ne rayonnent de l’énergie que lorsqu’ils sautent d’une orbite à une autre.

Données:

• La constante de Planck \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\)
• La masse de l’électron \(m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
• La charge élémentaire \(e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
• La constante de Coulomb \(k = 8.988 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2\)
• Numéro de l’orbite initiale \(n_i = 3\)
• Numéro de l’orbite finale \(n_f = 1\)

Questions:

1. Calculer l’énergie totale de l’électron dans chacune des orbites spécifiées (initiale \(n_i\) et finale \(n_f\)).

2. Déterminer l’énergie du photon émis lorsque l’électron passe de l’orbite \(n_i\) à l’orbite \(n_f\).

Correction : Application du Modèle de Bohr

1. Calcul de l’énergie totale de l’électron

Calcul du rayon des orbites \(n_i\) et \(n_f\):

Données nécessaires :

• Masse de l’électron, \(m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
• Charge élémentaire, \(e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
• Permittivité du vide, \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
• Constante de Planck, \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\)

Formule du rayon de l’orbite \(n\):

\[ r_n = \frac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m_e e^2} \]

• Pour \(n_i = 3\):

\[ r_3 = \frac{8.854 \times 10^{-12} \cdot (6.626 \times 10^{-34})^2 \cdot 3^2}{\pi \cdot 9.109 \times 10^{-31} \cdot (1.602 \times 10^{-19})^2} \] \[ r_3 \approx 4.77 \times 10^{-10} \, \text{m} \]

• Pour \(n_f = 1\):

\[ r_1 = \frac{8.854 \times 10^{-12} \cdot (6.626 \times 10^{-34})^2 \cdot 1^2}{\pi \cdot 9.109 \times 10^{-31} \cdot (1.602 \times 10^{-19})^2} \] \[ r_1 \approx 0.529 \times 10^{-10} \, \text{m} \]

Calcul des énergies \(E_{n_i}\) et \(E_{n_f}\)

Formule de l’énergie de l’électron sur une orbite \(n\):

\[ E_n = -\frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2 n^2} \]

• Pour \(n_i = 3\):

\[ E_3 = -\frac{9.109 \times 10^{-31} \cdot (1.602 \times 10^{-19})^4}{8 \cdot (8.854 \times 10^{-12})^2 \cdot (6.626 \times 10^{-34})^2 \cdot 3^2} \] \[ E_3 \approx -1.51 \, \text{eV} \]

• Pour \(n_f = 1\):

\[ E_1 = -\frac{9.109 \times 10^{-31} \cdot (1.602 \times 10^{-19})^4}{8 \cdot (8.854 \times 10^{-12})^2 \cdot (6.626 \times 10^{-34})^2 \cdot 1^2} \] \[ E_1 \approx -13.6 \, \text{eV} \]

2. Calcul de l’énergie du photon émis \(\Delta E\)

Formule de l’énergie du photon lors de la transition:

\[ \Delta E = E_{n_f} – E_{n_i} \]

Calcul:

\[ \Delta E = -13.6 \, \text{eV} – (-1.51 \, \text{eV}) \] \[ \Delta E = 12.09 \, \text{eV} \]

Interprétation Physique:

L’énergie du photon émis de 12.09 eV correspond à une transition significative dans l’atome d’hydrogène, où l’électron descend de la troisième à la première orbite stable.

Cette transition énergétique résulte en l’émission d’un photon ultraviolet, caractéristique de la série de Lyman du spectre de l’hydrogène.

Cette émission peut être observée dans les spectres astronomiques et utilisée pour identifier les éléments dans les environnements interstellaires et stellaires.

Application du Modèle de Bohr

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