Application de la Loi de Coulomb

Application de la Loi de Coulomb

Comprendre l’Application de la Loi de Coulomb

Dans le cadre d’une étude en laboratoire sur les forces électrostatiques, un étudiant en physique expérimente avec deux petites sphères chargées. Chaque sphère peut être considérée comme une charge ponctuelle en raison de sa petite taille. L’étudiant cherche à déterminer la force électrostatique agissant entre les deux sphères et comment cette force change en fonction de la distance entre elles et de la nature des charges.

Données:

• La première sphère, \(Q_1\), porte une charge de \(+8.0 \times 10^{-6}\) coulombs.
• La deuxième sphère, \(Q_2\), porte une charge de \(-2.0 \times 10^{-6}\) coulombs.
• Initialement, les sphères sont séparées par une distance de 0.5 mètres dans l’air.

Questions:

1. Calcul de la Force Initiale :

Calculez la force électrostatique initiale entre les deux sphères à l’aide de la loi de Coulomb. Considérez que la constante électrostatique \(k\) est approximativement \(8.99 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2\).

2. Variation de la Distance :

Si la distance entre les sphères est augmentée à 1.5 mètres, comment la force électrostatique change-t-elle? Calculez la nouvelle force.

3. Inversion de la Charge de \(Q_2\) :

Si la charge de \(Q_2\) est changée de négative à positive, devenant \(+2.0 \times 10^{-6}\) coulombs, et la distance reste à 0.5 mètres, quelle serait la nouvelle force électrostatique entre \(Q_1\) et \(Q_2\)?

4. Graphique de la Force vs Distance :

Tracez un graphique de la force électrostatique en fonction de la distance entre les charges pour des distances variant de 0.5 à 2.5 mètres par intervalles de 0.5 mètres, en utilisant la situation initiale des charges (avec \(Q_2\) négative).

Correction : Application de la Loi de Coulomb

1. Calcul de la Force Électrostatique Initiale

On utilise la loi de Coulomb pour calculer la force \( F \) entre deux charges ponctuelles \( Q_1 \) et \( Q_2 \) séparées par une distance \( r \) :

\[ F = k \times \frac{|Q_1 \times Q_2|}{r^2} \]

La constante électrostatique \( k \) est donnée par \( k = 8.99 \times 10^9\ \mathrm{N\, m^2/C^2} \). Les charges et la distance initiale sont :

• \( Q_1 = +8.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C} \)
• \( Q_2 = -2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C} \)
• \( r = 0.5\ \mathrm{m} \)

Remarque : Le signe négatif de \( Q_2 \) indique que la force sera attractive, mais pour le calcul de la valeur, on utilise les modules.

Données et Substitution

\[ |Q_1 \times Q_2| = (8.0 \times 10^{-6}) \times (2.0 \times 10^{-6}) \] \[ = 16.0 \times 10^{-12} = 1.6 \times 10^{-11}\ \mathrm{C^2} \]

• \( r^2 = (0.5)^2 = 0.25\ \mathrm{m^2} \)

Calcul

\[ F = \frac{8.99 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-11}}{0.25} \] \[ F = \frac{0.14384}{0.25} \] \[ F \approx 0.57536\ \mathrm{N} \]

Conclusion :
La force électrostatique initiale est d’environ 0.575 N (force attractive).

2. Variation de la Distance à 1.5 m

En augmentant la distance à \( r = 1.5\ \mathrm{m} \), la force varie selon la loi du carré inverse.

Données et Substitution

• \( r = 1.5\ \mathrm{m} \) donc \( r^2 = (1.5)^2 = 2.25\ \mathrm{m^2} \)
• Les charges et \( k \) restent identiques.

Calcul

\[ F = \frac{8.99 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-11}}{2.25} \]

Nous avons déjà calculé le numérateur comme \( 0.14384\ \mathrm{N} \). Divisons par \( 2.25 \) :

\[ F \approx \frac{0.14384}{2.25} \] \[ F \approx 0.06393\ \mathrm{N} \]

Conclusion : À \( 1.5\ \mathrm{m} \), la force électrostatique est d’environ \(\textbf{0.064 N}\) (toujours attractive).

3. Inversion de la Charge de \( Q_2 \)

Si la charge \( Q_2 \) passe de négative à positive, c’est-à-dire \( Q_2 = +2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C} \), le calcul reste similaire. Toutefois, le signe du produit \( Q_1 \times Q_2 \) devient positif, indiquant une force \textbf{répulsive}.

Données et Substitution

• \( Q_1 = +8.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C} \)
• \( Q_2 = +2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C} \)
• \( r = 0.5\ \mathrm{m} \)
• \( r^2 = 0.25\ \mathrm{m^2} \)
• \( |Q_1 \times Q_2| = 8.0 \times 10^{-6} \times 2.0 \times 10^{-6} = 1.6 \times 10^{-11}\ \mathrm{C^2} \)

Calcul

La formule demeure :

\[ F = \frac{8.99 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-11}}{0.25} \] \[ F \approx 0.57536\ \mathrm{N} \]

Conclusion :
La force, maintenant répulsive, a une valeur d’environ 0.575 N.

4. Graphique de la Force vs Distance

Nous traçons la force en fonction de la distance pour les valeurs \( r = 0.5,\ 1.0,\ 1.5,\ 2.0,\ 2.5\ \mathrm{m} \) en utilisant les charges initiales (\( Q_1 = +8.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C} \) et \( Q_2 = -2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C} \)). La formule générale reste :

\[ F(r) = \frac{0.14384}{r^2}\ \mathrm{N} \quad \text{(force attractive)} \]

a. Calcul pour Chaque Distance

1. Pour \( r = 0.5\ \mathrm{m} \):

\[ r^2 = 0.25 \]

\[ F = \frac{0.14384}{0.25} \approx 0.57536\ \mathrm{N} \]

2. Pour \( r = 1.0\ \mathrm{m} \):

\[ r^2 = 1 \]

\[ F = \frac{0.14384}{1} = 0.14384\ \mathrm{N} \]

3. Pour \( r = 1.5\ \mathrm{m} \):

\[ r^2 = 2.25 \]

\[ F = \frac{0.14384}{2.25} \approx 0.06393\ \mathrm{N} \]

4. Pour \( r = 2.0\ \mathrm{m} \):

\[ r^2 = 4 \]

\[ F = \frac{0.14384}{4} \approx 0.03596\ \mathrm{N} \]

5. Pour \( r = 2.5\ \mathrm{m} \):

\[ r^2 = 6.25 \]

\[ F = \frac{0.14384}{6.25} \approx 0.02301\ \mathrm{N} \]

b. Représentation Graphique

Pour visualiser, le graphique aura sur l’axe des abscisses la distance \( r \) (en m) et sur l’axe des ordonnées la force \( F \) (en N). On observe une courbe décroissante suivant une loi en \( 1/r^2 \). Les points clés seront :

• \((0.5, 0.575\, \mathrm{N})\)
• \((1.0, 0.144\, \mathrm{N})\)
• \((1.5, 0.064\, \mathrm{N})\)
• \((2.0, 0.036\, \mathrm{N})\)
• \((2.5, 0.023\, \mathrm{N})\)

Ce graphique montre clairement que la force diminue rapidement avec l’augmentation de la distance.

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