Analyse Quantique des Électrons dans un Métal
Comprendre l’Analyse Quantique des Électrons dans un Métal
En physique quantique, la distribution de Fermi-Dirac décrit la statistique des particules de spin demi-entier, connues sous le nom de fermions. Cela inclut des particules comme les électrons dans un métal. La distribution est utilisée pour déterminer la probabilité qu’un état d’énergie donné soit occupé par un fermion. Cette distribution joue un rôle crucial dans l’étude des propriétés des semi-conducteurs et des métaux à des températures variées.
Énoncé de l’exercice:
Considérez un métal dans lequel les électrons peuvent être approximés comme un gaz d’électrons libres. Nous allons calculer la probabilité qu’un état d’énergie soit occupé à une température spécifique, en utilisant la distribution de Fermi-Dirac.
Données fournies:
- Énergie de Fermi du métal, \( \epsilon_F \): 5 eV (électron-volt)
- Température du système, \( T \): 300 K (Kelvin)
- Constante de Boltzmann, \( k_B \): \( 8.617 \times 10^{-5} \) eV/K
Question:
Calculer la probabilité \( f(\epsilon) \) qu’un état d’énergie de 6 eV soit occupé par un électron dans ce métal à 300 K.
Correction : Analyse Quantique des Électrons dans un Métal
Calcul de la probabilité \(f(\epsilon)\)
La distribution de Fermi-Dirac est utilisée pour déterminer la probabilité qu’un état d’énergie \(\epsilon\) soit occupé par un électron. Cette formule est particulièrement importante pour les études sur les fermions, tels que les électrons dans les métaux.
Formule de la distribution de Fermi-Dirac :
\[ f(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon – \epsilon_F) / (k_B T)} + 1} \]
Calcul du quotient \(\frac{\epsilon – \epsilon_F}{k_B T}\):
Ce quotient représente le rapport de la différence entre l’énergie de l’état considéré \(\epsilon\) et l’énergie de Fermi \(\epsilon_F\), sur le produit de la constante de Boltzmann \(k_B\) et la température \(T\). Il permet de déterminer la « distance » énergétique entre l’état étudié et le niveau de Fermi en unité de l’énergie thermique.
Formule :
\[ \frac{\epsilon – \epsilon_F}{k_B T} \]
Données :
- Énergie de l’état, \(\epsilon = 6\) eV
- Énergie de Fermi, \(\epsilon_F = 5\) eV
- Constante de Boltzmann, \(k_B = 8.617 \times 10^{-5}\) eV/K
- Température, \(T = 300\) K
Calcul :
\[ = \frac{6 \, \text{eV} – 5 \, \text{eV}}{8.617 \times 10^{-5} \, \text{eV/K} \times 300 \, \text{K}} \] \[ = \frac{1 \, \text{eV}}{0.025851 \, \text{eV}} \] \[ = 38.68
\]
Substitution dans la formule de Fermi-Dirac:
La distribution de Fermi-Dirac permet de calculer la probabilité \(f(\epsilon)\) qu’un état d’énergie \(\epsilon\) soit occupé par un électron. Elle prend en compte le facteur calculé précédemment pour estimer cette probabilité, où un plus grand quotient indique une probabilité plus faible d’occupation à cette température.
Données :
- Quotient calculé précédemment: 38.68
Calcul :
\[ f(6 \, \text{eV}) = \frac{1}{e^{38.68} + 1} \] \[ f(6 \, \text{eV}) \approx \frac{1}{e^{38.68}} \] \[ f(6 \, \text{eV}) \approx \frac{1}{6.146 \times 10^{16}} \] \[ f(6 \, \text{eV}) \approx 1.627 \times 10^{-17} \]
Conclusion:
La probabilité que l’état d’énergie de 6 eV soit occupé par un électron est extrêmement faible (de l’ordre de \(10^{-17}\)) à une température de 300 K. Cela illustre comment la distribution de Fermi-Dirac aide à comprendre le comportement des fermions à différentes énergies et températures.
Conséquences :
Dans les conditions normales, les électrons dans un métal ne remplissent les états énergétiques au-dessus de l’énergie de Fermi que très peu. Cela a d’importantes implications en électronique et en physique des matériaux, notamment dans le comportement des semi-conducteurs et la conductivité des métaux.
Analyse Quantique des Électrons dans un Métal
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