Analyse du Coup Franc en Mécanique
Comprendre l’Analyse du Coup Franc en Mécanique
Lors d’un match de football, un joueur tire un coup franc. Le ballon est frappé avec une vitesse initiale de \(v_0 = 25\,\mathrm{m/s},\) dirigé sous un angle de\(\theta = 30^\circ\) par rapport à l’horizontale. On néglige la résistance de l’air ; la seule force en jeu (en dehors de la réaction du sol) est celle de la gravité, avec une accélération \(g = 9,81\,\mathrm{m/s^2}.\)
Données :
- Vitesse initiale : \( v_0 = 25\,\mathrm{m/s} \)
- Angle de lancement : \( \theta = 30^\circ \)
- Accélération de la pesanteur : \( g = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \)
Questions :
1. Temps de vol total :
Déterminez le temps total que met le ballon pour aller du moment où il est frappé jusqu’à ce qu’il touche le sol.
2. Portée horizontale :
Calculez la distance horizontale totale parcourue par le ballon.
3. Hauteur maximale :
Déterminez la hauteur maximale atteinte par le ballon.
4. Vitesse et angle d’impact :
À l’instant où le ballon touche le sol, calculez :
-
- La valeur (module) de sa vitesse.
- L’angle que fait sa trajectoire avec l’horizontale.
Correction : Analyse du Coup Franc en Mécanique
1. Calcul du temps de vol total
Le mouvement vertical est soumis à une accélération constante \( -g \). Le temps de montée (pour atteindre le point le plus haut où la vitesse verticale devient nulle) est donné par
\[ t_{\text{montée}} = \frac{v_{0y}}{g}. \]
Comme le ballon atterrit au même niveau que celui du lancement, le temps de descente est identique au temps de montée. Le temps total de vol est donc
\[ t_{\text{total}} = 2\, t_{\text{montée}} = \frac{2\, v_{0y}}{g}. \]
Formule :
\[ t_{\text{total}} = \frac{2\, v_{0y}}{g}. \]
Données :
- \(v_{0y} = 25 \times \sin 30^\circ = 25 \times 0,5 = 12,5\ \mathrm{m/s},\)
- \(g = 9,81\ \mathrm{m/s^2}.\)
Calcul :
\[ t_{\text{total}} = \frac{2 \times 12,5}{9,81} \] \[ t_{\text{total}} = \frac{25}{9,81} \approx 2,55\ \mathrm{s}. \]
2. Calcul de la portée horizontale
La composante horizontale de la vitesse \( v_{0x} \) est constante (puisqu’il n’y a pas d’accélération horizontale). La portée \( R \) est donc le produit de \( v_{0x} \) par le temps total de vol.
Formule :
\[ R = v_{0x} \times t_{\text{total}}. \]
Données :
- \(v_{0x} = 25 \times \cos 30^\circ \approx 25 \times 0,866 = 21,65\ \mathrm{m/s},\)
- \(t_{\text{total}} \approx 2,55\ \mathrm{s}.\)
Calcul :
\[ R = 21,65\ \mathrm{m/s} \times 2,55\ \mathrm{s} \] \[ R \approx 55,21\ \mathrm{m}. \]
3. Calcul de la hauteur maximale
La hauteur maximale est atteinte quand la composante verticale de la vitesse devient nulle. On utilise la relation (issue de l’énergie ou du mouvement uniformément accéléré) :
\[ H_{\text{max}} = \frac{v_{0y}^2}{2g}. \]
Données :
- \(v_{0y} = 12,5\ \mathrm{m/s}\)
- \(g = 9,81\ \mathrm{m/s^2}\)
Calcul :
\[ H_{\text{max}} = \frac{(12,5)^2}{2 \times 9,81} \] \[ H_{\text{max}} = \frac{156,25}{19,62} \approx 7,97\ \mathrm{m}. \]
4. Calcul de la vitesse et de l’angle d’impact
À l’impact, la vitesse horizontale reste inchangée \( (v_{0x} = 21,65\ \mathrm{m/s}) \). La composante verticale, initialement \( v_{0y} \) en montée, devient \( -v_{0y} \) lors de la descente (symétrie du mouvement vertical en l’absence de frottements). On obtient ainsi :
- Module de la vitesse d’impact :
\[ v_{\text{impact}} = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{y,\text{impact}}^2}, \]
où \( v_{y,\text{impact}} = -12,5\ \mathrm{m/s} \) (la valeur absolue étant \( 12,5\ \mathrm{m/s} \)).
- Angle d’impact \( \phi \) (par rapport à l’horizontale) :
\[ \phi = \arctan\left(\frac{|v_{y,\text{impact}}|}{v_{0x}}\right). \]
Formules :
\[ v_{\text{impact}} = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{y,\text{impact}}^2},\quad \phi = \arctan\left(\frac{|v_{y,\text{impact}}|}{v_{0x}}\right). \]
Données :
\[ v_{0x} \approx 21,65\ \mathrm{m/s},\quad |v_{y,\text{impact}}| = 12,5\ \mathrm{m/s}. \]
Calcul :
- Module de la vitesse :
\[ v_{\text{impact}} = \sqrt{(21,65)^2 + (12,5)^2} \] \[ v_{\text{impact}} \approx \sqrt{469,62 + 156,25} \] \[ v_{\text{impact}} \approx \sqrt{625,87} \] \[ v_{\text{impact}} \approx 25\ \mathrm{m/s}. \]
- Angle d’impact :
\[ \phi = \arctan\left(\frac{12,5}{21,65}\right) \] \[ \phi \approx \arctan(0,577) \] \[ \phi \approx 30^\circ. \]
Remarque : L’angle de \( 30^\circ \) indique que la trajectoire fait 30° par rapport à l’horizontale, mais dans le sens descendant (le signe négatif de la composante verticale est implicite dans la direction).
Analyse du Coup Franc en Mécanique
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