Analyse de l’Interaction Leptonique

Comprendre l’Analyse de l’Interaction Leptonique

Nous allons examiner une collision entre un électron et un positron qui aboutit à la création d’une paire muon-antimuon.

Cet événement est fréquent dans les accélérateurs de particules où des énergies élevées permettent de telles transformations.

Vous utiliserez les lois de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement pour analyser l’interaction et déterminer les paramètres finaux des particules produites.

Données :

• Masse de l’électron/positron, \(m_e = 0.511 \, \text{MeV/c}^2\).
• Masse du muon, \(m_{\mu} = 105.7 \, \text{MeV/c}^2\).
• Énergie totale du système (énergie du centre de masse), \(E_{cm} = 220 \, \text{MeV}\).
• Les électrons et les positrons sont injectés avec des quantités de mouvement égales et opposées.

Question :

Calculer la quantité de mouvement et l’énergie des muons après la collision, en supposant que la collision est parfaitement élastique et que l’énergie est totalement convertie en particules muon-antimuon.

Correction : Analyse de l’Interaction Leptonique

1. Conservation de l’énergie

La conservation de l’énergie nous dit que l’énergie totale du système avant la collision est égale à l’énergie totale après la collision. Avant la collision, l’énergie est celle des électrons et des positrons injectés dans l’accélérateur.

L’énergie totale d’un électron ou d’un positron est donnée par la formule relativiste de l’énergie :

\[ E = \gamma m c^2 \]

où \( \gamma \) est le facteur de Lorentz, \( m \) est la masse de la particule et \( c \) est la vitesse de la lumière.

Le facteur de Lorentz peut être calculé par :

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \left(\frac{v^2}{c^2}\right)}} \]

Pour l’électron et le positron qui se déplacent à des vitesses relativistes, leur énergie totale est approximativement égale à l’énergie du centre de masse, \( E_{\text{cm}} \), puisque leur masse au repos est beaucoup plus petite que l’énergie cinétique due à leur vitesse élevée.

Dans cet exercice, \( E_{\text{cm}} = 220 \, \text{MeV} \) est donnée, qui est l’énergie totale du système. Ainsi :

\[ E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} = 220 \, \text{MeV} \]

2. Conservation de la quantité de mouvement

Pour un système où deux particules se déplacent l’une vers l’autre avec des quantités de mouvement égales et opposées, la quantité de mouvement totale avant et après la collision est conservée à zéro :

\[ \vec{p}_{\text{total initial}} = \vec{p}_{\text{total final}} = 0 \]

3. Calculer la quantité de mouvement des muons

D’après la conservation de l’énergie et en utilisant la relation énergie-masse :

\[ E_{\text{cm}}^2 = (2 m_{\mu} c^2)^2 + (2 p_{\mu} c)^2 \]

où \( m_{\mu} \) est la masse du muon.

Isolons \( p_{\mu} \) :

\[ p_{\mu} = \frac{\sqrt{E_{\text{cm}}^2 – (2 m_{\mu} c^2)^2}}{2c} \]

En substituant \( m_{\mu} = 105.7 \, \text{MeV/c}^2 \) et \( E_{\text{cm}} = 220 \, \text{MeV} \), nous obtenons :

\[ p_{\mu} = \frac{\sqrt{(220 \, \text{MeV})^2 – (2 \times 105.7 \, \text{MeV})^2}}{2 \times 3 \times 10^8 \, \text{m/s}} \] \[ p_{\mu} = \frac{\sqrt{48400 – 44618.16}}{6 \times 10^8} \, \text{MeV/c} \] \[ p_{\mu} = \frac{\sqrt{3781.84}}{6 \times 10^8} \, \text{MeV/c} \] \[ p_{\mu} = \frac{61.5 \, \text{MeV/c}}{6 \times 10^8} \, \text{MeV/c} \] \[ p_{\mu} = 30.75 \, \text{MeV/c} \]

4. Calculer l’énergie des muons

Utilisez maintenant cette quantité de mouvement pour trouver l’énergie des muons :

\[ E_{\mu} = \sqrt{(p_{\mu} c)^2 + (m_{\mu} c^2)^2} \] \[ E_{\mu} = \sqrt{(30.75 \, \text{MeV/c} \times 3 \times 10^8 \, \text{m/s})^2 + (105.7 \, \text{MeV})^2} \] \[ E_{\mu} = \sqrt{943.5625 + 11179.49} \, \text{MeV} \] \[ E_{\mu} = \sqrt{12123.0525} \, \text{MeV} \] \[ E_{\mu} = 110.1 \, \text{MeV} \]

5. Analyse et conclusion

Le muon et l’antimuon s’éloignent chacun avec une énergie de 110.1 MeV et une quantité de mouvement de 30.75 MeV/c.

Ces résultats illustrent la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement dans des collisions de particules à haute énergie.

Les calculs montrent comment l’énergie du centre de masse est transformée en masse et énergie cinétique des particules produites.

Cette interaction est cruciale pour comprendre les propriétés fondamentales des leptons et tester les prédictions des théories en physique des particules.

Analyse de l’Interaction Leptonique

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