Analyse de la Dualité Onde-Particule
Comprendre l’Analyse de la Dualité Onde-Particule
Dans le cadre de l’étude de la dualité onde-particule, un des concepts fondamentaux de la mécanique quantique, nous analyserons le comportement d’un électron lorsqu’il traverse une fente unique très fine. L’objectif est de déterminer la probabilité de localisation de cet électron après qu’il ait traversé la fente, utilisant le principe de la dualité onde-particule.
Ce concept a été fondamentalement exploré par la célèbre expérience de Young, qui a démontré que la lumière peut se comporter à la fois comme une onde et comme une particule. Cette caractéristique est également vraie pour les électrons, ce qui remet en question les principes classiques de la physique.
Données:
- Largeur de la fente (d) = 0.5 micromètres
- Distance entre la fente et l’écran de détection (L) = 2 mètres
- Masse de l’électron (m) = \(9.109 \times 10^{-31}\) kg
- Constante de Planck (h) = \(6.626 \times 10^{-34}\) J\(\cdot\)s
- Vitesse de l’électron (v) = \(1 \times 10^{6}\) m/s
Questions:
A. Quelle est la longueur d’onde de l’électron donné les conditions ci-dessus?
B. Quel est l’angle de diffraction principal pour l’électron?
C. Où apparaîtra le premier maximum de diffraction sur l’écran?
D. Comment la position du premier maximum change-t-elle si la vitesse de l’électron augmente de 20%?
Correction : Analyse de la Dualité Onde-Particule
Données:
- Largeur de la fente : \( d = 0{,}5\ \mu\text{m} = 0{,}5 \times 10^{-6}\ \text{m} \)
- Distance entre la fente et l’écran de détection : \( L = 2\ \text{m} \)
- Masse de l’électron : \( m = 9{,}109 \times 10^{-31}\ \text{kg} \)
- Constante de Planck : \( h = 6{,}626 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s} \)
- Vitesse de l’électron : \( v = 1 \times 10^6\ \text{m/s} \)
A. Calcul de la longueur d’onde de l’électron
Selon la relation de de Broglie, toute particule de masse \( m \) et se déplaçant à la vitesse \( v \) possède une longueur d’onde donnée par
\[ \lambda = \frac{h}{mv} \]
Substitution des valeurs et calcul :
\[ \lambda = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}}{(9{,}109 \times 10^{-31}\ \text{kg}) \times (1 \times 10^6\ \text{m/s})} \] \[ \lambda \approx \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{9{,}109 \times 10^{-25}} \] \[ \lambda \approx 7{,}27 \times 10^{-10}\ \text{m} \]
Résultat :
La longueur d’onde de l’électron est d’environ
\[ \lambda \approx 7{,}27 \times 10^{-10}\ \text{m} \quad (\sim 0{,}727\ \text{nm}) \]
B. Détermination de l’angle de diffraction principal
Pour une fente unique, le premier minimum de diffraction se situe lorsque
\[ \sin\theta = \frac{\lambda}{d} \]
Cet angle (pour \( \theta \) petit) caractérise la « portée » de la diffraction. On peut considérer cet angle comme la demi-largeur angulaire du maximum central.
Substitution des valeurs :
\[ \sin\theta = \frac{7{,}27 \times 10^{-10}\ \text{m}}{0{,}5 \times 10^{-6}\ \text{m}} = 1{,}454 \times 10^{-3} \]
Calcul de l’angle :
Pour de petits angles, \( \theta \approx \sin\theta \).
\[ \theta \approx 1{,}454 \times 10^{-3}\ \text{rad} \]
Résultat :
L’angle de diffraction principal est donc d’environ
\[ \theta \approx 1{,}454 \times 10^{-3}\ \text{rad} \quad (\approx 0{,}0833^\circ) \]
C. Position du premier maximum de diffraction sur l’écran
Le schéma de diffraction d’une fente unique présente un maximum central très intense (centré sur l’axe) suivi de plusieurs maximums secondaires. Ici, nous cherchons la position du \textbf{premier maximum secondaire} (situé de part et d’autre du maximum central).
Le calcul exact de la position des maximums secondaires nécessite de résoudre l’équation issue de la dérivation de l’intensité
\[ I(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 \quad \text{où} \quad \beta = \frac{\pi d \sin\theta}{\lambda} \]
La condition pour un maximum secondaire (hors le maximum central) est donnée par
\[ \tan\beta = \beta \]
La première solution non triviale est environ \( \beta \approx 4{,}493 \).
Formule utilisée :
En isolant \( \sin\theta \) :
\[ \sin\theta_{\text{max}} = \frac{\beta\,\lambda}{\pi d} \]
avec \( \beta \approx 4{,}493 \).
Substitution des valeurs et calcul :
\[ \sin\theta_{\text{max}} = \frac{4{,}493 \times 7{,}27 \times 10^{-10}}{\pi \times 0{,}5 \times 10^{-6}} \] \[ \sin\theta_{\text{max}} \approx \frac{3{,}27 \times 10^{-9}}{1{,}57 \times 10^{-6}} \] \[ \sin\theta_{\text{max}} \approx 2{,}08 \times 10^{-3} \]
Pour de petits angles, \( \theta_{\text{max}} \approx \sin\theta_{\text{max}} \) donc :
\[ \theta_{\text{max}} \approx 2{,}08 \times 10^{-3}\ \text{rad} \]
La position sur l’écran (distance \( y \) depuis l’axe central) s’obtient par :
\[ y = L \tan\theta \approx L\,\theta \quad (\text{pour petits angles}) \]
Substitution :
\[ y \approx 2\ \text{m} \times 2{,}08 \times 10^{-3}\ \text{rad} \] \[ y \approx 4{,}16 \times 10^{-3}\ \text{m} \]
Résultat :
Le premier maximum secondaire apparaît à environ
\[ y \approx 4{,}16\ \text{mm} \]
du centre de l’écran.
D. Effet d’une augmentation de 20% de la vitesse de l’électron
Si la vitesse augmente de 20%, alors
\[ v_{\text{nouveau}} = 1{,}2 \times 10^6\ \text{m/s} \]
La nouvelle longueur d’onde sera :
\[ \lambda_{\text{nouveau}} = \frac{h}{m\,v_{\text{nouveau}}} = \frac{h}{m\,(1{,}2 \times 10^6)} \]
On remarque que :
\[ \lambda_{\text{nouveau}} = \frac{1}{1{,}2}\,\lambda \approx 0{,}8333\,\lambda \]
Calcul de la nouvelle longueur d’onde :
\[ \lambda_{\text{nouveau}} \approx 0{,}8333 \times 7{,}27 \times 10^{-10}\ \text{m} \] \[ \lambda_{\text{nouveau}} \approx 6{,}06 \times 10^{-10}\ \text{m} \]
Nouvel angle pour le premier maximum secondaire :
En reprenant la formule avec \( \beta \approx 4{,}493 \) :
\[ \sin\theta_{\text{max, nouveau}} = \frac{4{,}493\,\lambda_{\text{nouveau}}}{\pi d} \]
Substituons :
\[ \sin\theta_{\text{max, nouveau}} = \frac{4{,}493 \times 6{,}06 \times 10^{-10}}{\pi \times 0{,}5 \times 10^{-6}} \] \[ \sin\theta_{\text{max, nouveau}} \approx \frac{2{,}72 \times 10^{-9}}{1{,}57 \times 10^{-6}} \] \[ \sin\theta_{\text{max, nouveau}} \approx 1{,}73 \times 10^{-3} \]
Pour petits angles :
\[ \theta_{\text{max, nouveau}} \approx 1{,}73 \times 10^{-3}\ \text{rad} \]
La position sur l’écran devient :
\[ y_{\text{nouveau}} \approx L\,\theta_{\text{max, nouveau}} \] \[ y_{\text{nouveau}} \approx 2 \times 1{,}73 \times 10^{-3} \] \[ y_{\text{nouveau}} \approx 3{,}46 \times 10^{-3}\ \text{m} \]
soit environ 3,46 mm.
Conclusion :
- Avant augmentation : \( y \approx 4{,}16\ \text{mm} \)
- Après augmentation de 20% de la vitesse : \( y \approx 3{,}46\ \text{mm} \)
La position du premier maximum secondaire se rapproche donc du centre lorsque la vitesse de l’électron augmente.
Analyse de la Dualité Onde-Particule
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