Formation d’image par une lentille mince
Comprendre la Formation d’image par une lentille mince
On considère une lentille mince convergente utilisée pour former l’image d’un objet lumineux. L’objectif est de déterminer la position de l’image, sa nature (réelle ou virtuelle, droite ou renversée), le grandissement ainsi que la taille de l’image, en utilisant la formule de la lentille mince.
Données :
- Distance focale de la lentille : \( f = +15\,\text{cm} \) (le signe positif indique une lentille convergente).
- Distance de l’objet (par rapport à la lentille) : \( d_o = +30\,\text{cm} \) (la distance objet est positive lorsqu’il s’agit d’un objet réel situé du côté d’où provient la lumière).
- Hauteur de l’objet : \( h_o = 5\,\text{cm} \).
Questions :
1. Position de l’image : Calculer la distance image \( d_i \) par rapport à la lentille.
2. Nature de l’image : Préciser si l’image est réelle ou virtuelle, et si elle est droite ou inversée.
3. Grandissement et taille de l’image : Déterminer le grandissement \( m \) et calculer la hauteur de l’image \( h_i \).
Correction : Formation d’image par une lentille mince
1. Calcul de la position de l’image \(d_i\)
Pour une lentille mince de distance focale \( f \), la relation de conjugaison est :
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}, \]
où :
- \( d_o \) est la distance de l’objet à la lentille.
- \( d_i \) est la distance de l’image à la lentille.
Nous allons isoler \( d_i \) afin de déterminer la position de l’image.
Formule:
\[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} – \frac{1}{d_o}
\quad \Longrightarrow \quad
d_i = \frac{1}{\left(\frac{1}{f} – \frac{1}{d_o}\right)}. \]
Données:
- Distance focale de la lentille : \( f = +15\,\text{cm} \).
(Le signe « + » indique que la lentille est convergente.) - Distance de l’objet : \( d_o = +30\,\text{cm} \).
Calcul:
Calcul du terme \(\frac{1}{f}\) :
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{15\,\text{cm}} = 0{,}066\bar{6}\,\text{cm}^{-1}. \]
(Ne pas arrondir trop tôt, on garde plusieurs décimales mentalement.)
Calcul du terme \(\frac{1}{d_o}\) :
\[ \frac{1}{d_o} = \frac{1}{30\,\text{cm}} = 0{,}033\bar{3}\,\text{cm}^{-1}. \]
Soustraction :
\[ \frac{1}{f} – \frac{1}{d_o}
= 0{,}066\bar{6} – 0{,}033\bar{3}
= 0{,}033\bar{3}\,\text{cm}^{-1}. \]
Inversion pour trouver \( d_i \) :
\[ d_i
= \frac{1}{0{,}033\bar{3}}\,\text{cm}
\] \[ d_i= 30\,\text{cm}. \]
2. Calcul du grandissement \(\boldsymbol{m}\)
Le grandissement (ou rapport de grandissement) pour une lentille mince se définit par :
\[m = -\frac{d_i}{d_o}. \]
Le signe « – » dans la formule indique qu’une image inversée aura un grandissement négatif.
Formule:
\[ m = -\frac{d_i}{d_o}. \]
Données:
- \( d_i = +30\,\text{cm} \) (obtenu ci-dessus).
- \( d_o = +30\,\text{cm} \).
Calcul:
Substitution directe :
\[ m = -\frac{30\,\text{cm}}{30\,\text{cm}}. \]
Simplification :
\[ m = -1. \]
3. Calcul de la taille de l’image \(\boldsymbol{h_i}\)
La taille de l’image \( h_i \) est reliée à la taille de l’objet \( h_o \) par la relation :
\[ h_i = m \cdot h_o. \]
Si le grandissement est négatif, cela signifie que l’image est inversée (renversée) par rapport à l’objet.
Formule:
\[ h_i = m \cdot h_o. \]
Données:
- Grandissement : \( m = -1 \).
- Hauteur de l’objet : \( h_o = 5\,\text{cm} \).
Calcul:
Substitution :
\[ h_i = (-1) \times 5\,\text{cm}. \]
Résultat direct :
\[ h_i = -5\,\text{cm}. \]
Le signe négatif indique que l’image est renversée par rapport à l’objet. En valeur absolue, la taille est de 5 cm.
4. Nature de l’image
Interprétation des résultats
- La distance image \( d_i = +30\,\text{cm} \) :
Quand \( d_i \) est positive, cela signifie que l’image se forme du côté de sortie de la lentille (opposé à l’objet). On a alors une image réelle. - Le grandissement \( m = -1 \) :
Quand \( m \) est négatif, l’image est inversée (renversée) par rapport à l’objet. De plus, la valeur absolue \(|m| = 1\) indique que l’image a la même taille que l’objet, mais elle est inversée.
Conclusion :
L’image est réelle, inversée, et de même dimension que l’objet (5 cm).
Formation d’image par une lentille mince
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