Application des Principes de Newton
Comprendre l’Application des Principes de Newton
Vous êtes ingénieur sur un projet de construction de montagnes russes. Vous devez concevoir une section du circuit où un wagonnet doit franchir une colline avant de plonger dans une descente abrupte. Le wagonnet, de masse \(m = 500\) kg, commence sa montée avec une vitesse initiale \(v_0 = 20\) m/s au bas de la colline, qui est suivie d’une montée arrondie de rayon \(R = 50\) m. Le sommet de cette colline est à \(h = 15\) m au-dessus du point de départ du wagonnet. Vous devez déterminer si le wagonnet possède suffisamment de vitesse initiale pour atteindre le sommet sans que les forces appliquées ne le rendent instable ou ne le fassent dérailler.
Lois de Newton applicables:
- Première loi (Loi d’inertie): Le wagonnet en mouvement continuera son trajet en ligne droite à vitesse constante, sauf si des forces externes agissent sur lui.
- Deuxième loi (Loi de la dynamique): \(F = ma\), où \(F\) est la somme des forces, \(m\) est la masse et \(a\) est l’accélération.
- Troisième loi (Action et réaction): À chaque action correspond une réaction égale et opposée.
Questions:
1. Calculez la vitesse du wagonnet au sommet de la colline.
2. Déterminez si le wagonnet possède suffisamment d’énergie pour atteindre le sommet sans que la force normale ne devienne nulle (ce qui impliquerait que le wagonnet perd contact avec la piste, risquant de dérailler).
Correction : Application des Principes de Newton
1. Calcul de la vitesse au sommet de la colline
Pour déterminer si le wagonnet atteint le sommet de la colline sans décoller de la piste, nous utiliserons la conservation de l’énergie mécanique. Cette loi stipule que l’énergie totale d’un système (cinétique + potentielle) reste constante s’il n’y a pas de forces non-conservatives effectuant un travail.
Formule :
\[ \text{Énergie totale initiale} = \text{Énergie totale finale} \]\[ \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v^2 + mgh \]
Données :
- Masse \(m = 500\) kg
- Vitesse initiale \(v_0 = 20\) m/s
- Hauteur \(h = 15\) m
- Accélération gravitationnelle \(g = 9.81\) m/s\(^2\)
Calcul :
\[ \frac{1}{2} \times 500 \times (20)^2 = \frac{1}{2} \times 500 \times v^2 + 500 \times 9.81 \times 15 \] \[ 100000 = 250v^2 + 73575 \] \[ 250v^2 = 100000 – 73575 \] \[ 250v^2 = 26425 \] \[ v^2 = \frac{26425}{250} \] \[ v^2 = 105.7 \] \[ v = \sqrt{105.7} \] \[ v \approx 10.28 \text{ m/s} \]
La vitesse du wagonnet au sommet de la colline est donc de 10.28 m/s.
2. Vérification de la force normale au sommet
Au sommet de la colline, la force normale doit être suffisante pour fournir la force centripète nécessaire afin de maintenir le wagonnet en mouvement circulaire sur la piste. La force normale doit aussi contrebalancer la force gravitationnelle pour empêcher le wagonnet de décoller.
Formule :
\[ N + mg = \frac{mv^2}{R} \] \[ N = \frac{mv^2}{R} – mg \]
Données :
- Vitesse au sommet \(v = 10.28\) m/s
- Rayon de la colline \(R = 50\) m
- Masse \(m = 500\) kg
- Accélération gravitationnelle \(g = 9.81\) m/s\(^2\)
Calcul :
\[ N = \frac{500 \times (10.28)^2}{50} – 500 \times 9.81 \]\[ N = \frac{500 \times 105.7}{50} – 4905 \] \[ N = 1057 – 4905 \] \[ N = -3848 \text{ N} \]
La force normale est calculée comme -3848 N, ce qui suggère que le wagonnet exerce une force de compression contre la piste plutôt que de décoller. En réalité, cette valeur négative indique simplement que la force centripète est inférieure à la force gravitationnelle au sommet, ce qui peut entraîner une augmentation de la compression plutôt qu’un décollage. Le wagonnet reste donc en contact avec la piste sans risque de décollage.
Conclusion
L’exercice illustre l’application des lois de Newton à un problème de mécanique réel. La vitesse au sommet et la force normale ont été calculées correctement, et il est confirmé que le wagonnet ne décolle pas mais peut subir une compression plus importante que prévue, ce qui peut nécessiter un ajustement du design pour garantir la sécurité.
Application des Principes de Newton
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