Optimisation d’un Circuit Électrique
Comprendre l’Optimisation d’un Circuit Électrique
Dans un circuit électrique complexe, un technicien essaie de déterminer la résistance totale d’un circuit mixte comportant des résistances en série et en parallèle. Ce circuit est une partie d’un système de contrôle pour un robot industriel, où il est crucial de maintenir la tension et le courant à des niveaux très précis pour éviter les surcharges et optimiser la performance.
Données:
Le circuit est composé des éléments suivants:
- Trois résistances en série: \( R_1 = 100 \, \Omega \), \( R_2 = 150 \, \Omega \), \( R_3 = 200 \, \Omega \)
- Ces résistances en série sont ensuite connectées en parallèle avec une autre résistance \( R_4 = 300 \, \Omega \).
- L’ensemble du circuit est alimenté par une source de tension de \( V = 24 \, V \).
Questions:
Calculer:
1. La résistance totale du circuit.
2. Le courant total dans le circuit.
3. La puissance dissipée dans chaque résistance.
Correction : Optimisation d’un Circuit Électrique
1. Calcul de la Résistance Totale du Circuit
a. Calcul de la résistance équivalente des résistances en série
Les trois résistances en série sont :
- \( R_1 = 100\,\Omega \)
- \( R_2 = 150\,\Omega \)
- \( R_3 = 200\,\Omega \)
La résistance équivalente d’un ensemble en série se calcule par la somme des résistances :
\[ R_{\text{série}} = R_1 + R_2 + R_3 \] \[ R_{\text{série}} = 100 + 150 + 200 \] \[ R_{\text{série}} = 450\,\Omega \]
b. Association en parallèle avec \( R_4 \)
La résistance \( R_4 \) est de \( 300\,\Omega \) et se trouve en parallèle avec le branche en série \( R_{\text{série}} \).
Pour deux résistances \( R_a \) et \( R_b \) en parallèle, la formule est :
\[ R_{\text{total}} = \frac{R_a \times R_b}{R_a + R_b} \]
Ici, \( R_a = R_{\text{série}} = 450\,\Omega \) et \( R_b = R_4 = 300\,\Omega \). Ainsi :
\[ R_{\text{total}} = \frac{450 \times 300}{450 + 300} \] \[ R_{\text{total}} = \frac{135\,000}{750} \] \[ R_{\text{total}} = 180\,\Omega \]
2. Calcul du Courant Total dans le Circuit
La tension fournie par la source est de \( V = 24\,V \).
La loi d’Ohm donne le courant total \( I_{\text{total}} \) :
\[ I_{\text{total}} = \frac{V}{R_{\text{total}}} = \frac{24}{180} \approx 0,1333\,A \]
3. Calcul de la Puissance Dissipée dans Chaque Résistance
a. Détermination des courants dans les branches en parallèle
Le circuit étant en parallèle, la tension aux bornes de chaque branche est égale à la tension de la source \( V = 24\,V \).
Branche en Série (résistances \( R_1, R_2, R_3 \))
Le courant dans cette branche, noté \( I_{\text{série}} \), est :
\[ I_{\text{série}} = \frac{V}{R_{\text{série}}} = \frac{24}{450} \approx 0,05333\,A \]
Branche contenant \( R_4 \)
Le courant dans cette branche, noté \( I_{R4} \), est :
\[ I_{R4} = \frac{V}{R_4} = \frac{24}{300} = 0,08\,A \]
On vérifie :
\[ I_{\text{total}} = I_{\text{série}} + I_{R4} \] \[ I_{\text{total}} \approx 0,05333 + 0,08 \] \[ I_{\text{total}} = 0,13333\,A \]
b. Calcul de la puissance dissipée
La puissance dissipée par une résistance se calcule avec :
\[ P = I^2 \times R \]
Puissance dans \( R_1 \)
\[ P_{R1} = (0,05333)^2 \times 100 \] \[ P_{R1} \approx 0,002844 \times 100 \] \[ P_{R1} = 0,2844\,W \]
Puissance dans \( R_2 \)
\[ P_{R2} = (0,05333)^2 \times 150 \] \[ P_{R2} \approx 0,002844 \times 150 \] \[ P_{R2} = 0,4266\,W \]
Puissance dans \( R_3 \)
\[ P_{R3} = (0,05333)^2 \times 200 \] \[ P_{R3} \approx 0,002844 \times 200 \] \[ P_{R3} = 0,5688\,W \]
Puissance dans \( R_4 \)
Pour \( R_4 \), le courant est différent (\( 0,08\,A \)) :
\[ P_{R4} = (0,08)^2 \times 300 \] \[ P_{R4} = 0,0064 \times 300 \] \[ P_{R4} = 1,92\,W \]
Optimisation d’un Circuit Électrique
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